Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5265
2017-11-19 
Тонкостенный перевёрнутый стакан высотой $L$ быстро погрузили в воду на глубину $H$, при этом в первый момент после погружения вода в стакане поднялась до уровня $l_{0}$ (см. рис.). Стакан удерживают под водой с помощью динамометра. На сколько и почему изменится показание динамометра с течением времени по сравнению с первоначальным? Атмосферное давление равно $p_{0}$, плотность воды $\rho_{0}$, площадь дна стакана $S$. Считать, что температуры атмосферы и воды совпадают.
Решение:
Обозначим температуру воды и воздуха над ней $T$, массу стакана $M$, массу воздуха в стакане $m$, высоту столба воздуха в стакане, установившуюся в конце наблюдения, $l_{X}$. Сразу после погружения динамометр показывает разницу между действующей на стакан силой тяжести и выталкивающей силой Архимеда, $F_{нач} = (M + m)g - \rho_{0} gl_{0}S$. Так как стакан погружают в воду быстро, то он не успевает обменяться теплом с окружающей водой. Адиабатическое сжатие воздуха при погружении до объёма $l_{0}S$ сопровождается нагреванием воздуха до некоторой температуры $T_{1}$. Затем, в течение некоторого времени в стакане устанавливается термодинамическое равновесие между воздухом и водой, в результате которого воздух остывает до исходной температуры $T$, а объём его уменьшается, что вызывает уменьшение плавучести стакана. Когда стакан ещё находился над водой (до погружения), он целиком (на объём $LS$) был наполнен воздухом при атмосферном давлении $p_{0}$ и температуре $T$. Его состояние будем описывать уравнением $p_{0}LS = mRT/ \mu$. В конце наблюдения, на глубине $H$, газ находится под давлением $p_{0} + \rho_{0} g(H + l_{X})$, и занимает объём $l_{X}S$ при той же температуре $T$. Уравнение состояния газа принимает вид: $[p_{0} + \rho_{0} \cdot g(H + l_{X})] Sl_{X} = mRT / \mu$. Приравнивая левые части уравнений состояния, находим отсюда $l_{X}$:
$l_{X \pm} = \pm \sqrt{ \left ( H + \frac{p_{0}}{g \rho_{0}} \right )^{2} } + \frac{4 p_{0}L}{g \rho_{0}} - \frac{1}{2} \left ( H + \frac{p_{0}}{g \rho_{0}} \right )$.
Физический смысл имеет только положительный корень $l_{X+} > 0$, который определяет новое значение выталкивающей архимедовой силы $|F_{A}| = \rho_{0} gl_{X+} \cdot S$. После установления в системе термодинамического равновесия динамометр показывает новую разницу $\Delta F = F_{нач} - F_{к}$.
Ответ. Различие между показаниями динамометра в начале и в конце наблюдения составляет $\Delta F = \rho_{0} g S (l_{X+} - l_{0})$.
Тонкостенный перевёрнутый стакан высотой $L$ быстро погрузили в воду на глубину $H$, при этом в первый момент после погружения вода в стакане поднялась до уровня $l_{0}$ (см. рис.). Стакан удерживают под водой с помощью динамометра. На сколько и почему изменится показание динамометра с течением времени по сравнению с первоначальным? Атмосферное давление равно $p_{0}$, плотность воды $\rho_{0}$, площадь дна стакана $S$. Считать, что температуры атмосферы и воды совпадают.
Решение:
Обозначим температуру воды и воздуха над ней $T$, массу стакана $M$, массу воздуха в стакане $m$, высоту столба воздуха в стакане, установившуюся в конце наблюдения, $l_{X}$. Сразу после погружения динамометр показывает разницу между действующей на стакан силой тяжести и выталкивающей силой Архимеда, $F_{нач} = (M + m)g - \rho_{0} gl_{0}S$. Так как стакан погружают в воду быстро, то он не успевает обменяться теплом с окружающей водой. Адиабатическое сжатие воздуха при погружении до объёма $l_{0}S$ сопровождается нагреванием воздуха до некоторой температуры $T_{1}$. Затем, в течение некоторого времени в стакане устанавливается термодинамическое равновесие между воздухом и водой, в результате которого воздух остывает до исходной температуры $T$, а объём его уменьшается, что вызывает уменьшение плавучести стакана. Когда стакан ещё находился над водой (до погружения), он целиком (на объём $LS$) был наполнен воздухом при атмосферном давлении $p_{0}$ и температуре $T$. Его состояние будем описывать уравнением $p_{0}LS = mRT/ \mu$. В конце наблюдения, на глубине $H$, газ находится под давлением $p_{0} + \rho_{0} g(H + l_{X})$, и занимает объём $l_{X}S$ при той же температуре $T$. Уравнение состояния газа принимает вид: $[p_{0} + \rho_{0} \cdot g(H + l_{X})] Sl_{X} = mRT / \mu$. Приравнивая левые части уравнений состояния, находим отсюда $l_{X}$:
$l_{X \pm} = \pm \sqrt{ \left ( H + \frac{p_{0}}{g \rho_{0}} \right )^{2} } + \frac{4 p_{0}L}{g \rho_{0}} - \frac{1}{2} \left ( H + \frac{p_{0}}{g \rho_{0}} \right )$.
Физический смысл имеет только положительный корень $l_{X+} > 0$, который определяет новое значение выталкивающей архимедовой силы $|F_{A}| = \rho_{0} gl_{X+} \cdot S$. После установления в системе термодинамического равновесия динамометр показывает новую разницу $\Delta F = F_{нач} - F_{к}$.
Ответ. Различие между показаниями динамометра в начале и в конце наблюдения составляет $\Delta F = \rho_{0} g S (l_{X+} - l_{0})$.
