Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5263
2017-11-19 
Мальчик сидит на расстоянии $R$ от центра диска, равномерно раскручивающегося из состояния покоя до угловой скорости $\omega_{0}$ за время $T$. Какое число оборотов сделает мальчик прежде, чем он начнёт скользить относительно колеса, если коэффициент трения о его поверхность равен $\mu$?
Решение:
Действующая на мальчика сила трения имеет две составляющие: одна создаёт центростремительное ускорение, обеспечивающее движение вместе с колесом по окружности, другая — обеспечивает увеличение линейной скорости при увеличении частоты вращения колеса. В случае равномерного разгона угловая скорость колеса смеха возрастает со временем по линейному закону $\omega (t) = \omega_{0} \cdot t/T$. До тех пор, пока мальчик не скользит относительно колеса, модуль его линейной скорости так же возрастает пропорционально времени $V(t) = \omega (t) \cdot R = a_{1} t$, коэффициент пропорциональности в этой зависимости даёт величину тангенциального ускорения $a_{1} = \omega_{1} \cdot R/T$. Кроме этого, движение по окружности обуславливает наличие центростремительного ускорения. Полное ускорение мальчика определяется суммой двух указанных взаимно перпендикулярных составляющих $a^{2} = a_{1}^{2} + [ \omega^{2} (t) \cdot R]^{2}$. Единственной силой, способной сообщить мальчику такое ускорение, является, очевидно, сила трения покоя, величина которой не может превосходить $\mu N$.
$m \cdot a = m \frac{ \omega_{0}^{2}R}{T^{2}} \sqrt{ t^{4} + \frac{T^{2}}{ \omega_{0}^{2}}} \leq \mu mg$.
Заметим, что в момент начала проскальзывания последнее неравенство превращается в равенство, что даёт возможность найти момент времени начала проскальзывания:
$t_{*} = \sqrt{ \frac{T}{ \omega_{0}}} \sqrt[4]{ \frac{ \mu^{2} g^{2}T^{2}}{R^{2} \omega_{0}^{2}} - 1}$.
Угол поворота $\phi(t_{*})$, пройденный мальчиком до начала скольжения при вращательном движении с постоянным угловым ускорением, находим аналогично пути, пройденного при равноускоренном поступательном движении, $\phi(t_{*}) =\omega_{0} \cdot t_{*}^{2}/2T$. Число оборотов по найденному углу определяется равно $n = \phi (t_{0})/2 \pi$. Решение $t_{*}$ теряет смысл и становится чисто мнимым в двух крайних случаях: 1) когда $T/ \omega_{0} < 0$, тогда $t_{*}^{2} >T^{2}$ (мальчик удерживается на колесе до самого окончания разгона), 2) когда $\mu < \omega_{0} \cdot R/ gT$, и сила трения столь мала, что мальчик начинает скользить уже в момент начала движения колеса смеха.
Ответ. При подходящей силе трения о поверхность колеса смеха мальчик начнёт соскальзывать ещё до окончания разгона, через некоторое время после его начала. Число оборотов, которое он при этом сделает равно $n = (( \mu gT/ \omega_{0} R)^{2} - 1)^{1/2}/4 \pi$. Если сила трения слишком мала, мальчик может начать скользить сразу после начала движения. Если она слишком велика, мальчик удержит на колесе до самого окончания разгона.
Мальчик сидит на расстоянии $R$ от центра диска, равномерно раскручивающегося из состояния покоя до угловой скорости $\omega_{0}$ за время $T$. Какое число оборотов сделает мальчик прежде, чем он начнёт скользить относительно колеса, если коэффициент трения о его поверхность равен $\mu$?
Решение:
Действующая на мальчика сила трения имеет две составляющие: одна создаёт центростремительное ускорение, обеспечивающее движение вместе с колесом по окружности, другая — обеспечивает увеличение линейной скорости при увеличении частоты вращения колеса. В случае равномерного разгона угловая скорость колеса смеха возрастает со временем по линейному закону $\omega (t) = \omega_{0} \cdot t/T$. До тех пор, пока мальчик не скользит относительно колеса, модуль его линейной скорости так же возрастает пропорционально времени $V(t) = \omega (t) \cdot R = a_{1} t$, коэффициент пропорциональности в этой зависимости даёт величину тангенциального ускорения $a_{1} = \omega_{1} \cdot R/T$. Кроме этого, движение по окружности обуславливает наличие центростремительного ускорения. Полное ускорение мальчика определяется суммой двух указанных взаимно перпендикулярных составляющих $a^{2} = a_{1}^{2} + [ \omega^{2} (t) \cdot R]^{2}$. Единственной силой, способной сообщить мальчику такое ускорение, является, очевидно, сила трения покоя, величина которой не может превосходить $\mu N$.
$m \cdot a = m \frac{ \omega_{0}^{2}R}{T^{2}} \sqrt{ t^{4} + \frac{T^{2}}{ \omega_{0}^{2}}} \leq \mu mg$.
Заметим, что в момент начала проскальзывания последнее неравенство превращается в равенство, что даёт возможность найти момент времени начала проскальзывания:
$t_{*} = \sqrt{ \frac{T}{ \omega_{0}}} \sqrt[4]{ \frac{ \mu^{2} g^{2}T^{2}}{R^{2} \omega_{0}^{2}} - 1}$.
Угол поворота $\phi(t_{*})$, пройденный мальчиком до начала скольжения при вращательном движении с постоянным угловым ускорением, находим аналогично пути, пройденного при равноускоренном поступательном движении, $\phi(t_{*}) =\omega_{0} \cdot t_{*}^{2}/2T$. Число оборотов по найденному углу определяется равно $n = \phi (t_{0})/2 \pi$. Решение $t_{*}$ теряет смысл и становится чисто мнимым в двух крайних случаях: 1) когда $T/ \omega_{0} < 0$, тогда $t_{*}^{2} >T^{2}$ (мальчик удерживается на колесе до самого окончания разгона), 2) когда $\mu < \omega_{0} \cdot R/ gT$, и сила трения столь мала, что мальчик начинает скользить уже в момент начала движения колеса смеха.
Ответ. При подходящей силе трения о поверхность колеса смеха мальчик начнёт соскальзывать ещё до окончания разгона, через некоторое время после его начала. Число оборотов, которое он при этом сделает равно $n = (( \mu gT/ \omega_{0} R)^{2} - 1)^{1/2}/4 \pi$. Если сила трения слишком мала, мальчик может начать скользить сразу после начала движения. Если она слишком велика, мальчик удержит на колесе до самого окончания разгона.
