2014-06-01
Из двух расположенных в одной горизонтальной плоскости на расстоянии $s = 10 м$ одна от другой пружинных пушечек одновременно вылетают тяжелые шарики, один из которых (1-й) имеет начальную вертикальную скорость $v_{1} = 10 м/с$, а 2-й вылетает под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_{2} = 20 м/с$. На каждый из шариков действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха $F=\mu v, \mu = 0,1 г/с$.
Найдите, каким должен быть угол $\alpha$, чтобы шарики столкнулись в воздухе.
Решение:
Предположим сначала, что сила сопротивления воздуха отсутствует. Тогда шарики встретятся, если вертикальная составляющая начальной скорости 2-го шарика равна вертикальной составляющей скорости 1-го шарика:
$v_{1}=v_{2} \sin \alpha$;
отсюда $ \sin \alpha = v_{1}/v_{2} = 10/20= 1/2, \alpha = 30^{\circ}$. При этом время движения шариков до встречи равно $t = s/(v_{2} \cos \alpha) \approx 0,6 с$.
Поскольку шарики тяжелые, то легко оценить роль силы сопротивления воздуха. Общий характер движения 1-го шарика существенно не изменится, поскольку ускорение, обусловленное силой сопротивления, даже при массе шариков по 10 г и при максимальной скорости 1-го шарика $v_{1} = 10 м/с$ равно $a_{max} = 1 м/с^{2}$. Это ускорение не более чем на 1% изменяет общее время движения 1-го шарика. Поскольку сила сопротивления воздуха направлена против скорости шарика, то добиться того, чтобы 2-й шарик столкнулся с 1-м, можно, сообщив ему одинаковую с 1-м составляющую скорости по вертикали при условии, что в последующие моменты времени вертикальные проекции ускорений шариков одинаковы в любой момент времени. Для этого угол $\alpha$, образуемый скоростью 2-ю шарика с горизонтом, в момент вылета должен быть равен $30^{\circ}$.