Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5242
2017-11-19 
На гладком конусе с углом при вершине $120^{ \circ}$ шарнирно закреплён невесомый нерастяжимый стержень длиной $L$ (см. рис.). К концу стержня прикреплён груз. Вся система вращается вокруг вертикальной оси. При какой частоте вращения груз разорвёт стержень, если стержень выдерживает утроенный вес груза?
Решение:
Выясним, может ли произойти разрыв стержня, когда груз ещё не оторвался от конуса. Рассмотрим предельный случай, когда сила реакции опоры равна нулю. Используя второй закон Ньютона, запишем векторное уравнение сил (см. рисунок), действующих на груз: $m \vec{a} = \vec{T} + m \vec{g}$. Проекции этого уравнения на выбранные оси координат суть $ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$ и $ma \sin \alpha = T - mg \cos \alpha$. Из уравнений следует, что $T = mg/ \cos \alpha$. При $\alpha = 60^{ \circ} C$, в частности, получаем величину силы натяжения нити, $T = 2mg$. Очевидно, что она меньше силы, которую выдерживает стержень. Отсюда следует, что для того, чтобы произошёл разрыв стержня груз должен подняться над конусом. Из выражения для силы натяжения $T$ следует, что в момент разрыва стержня угол между стержнем и вертикалью составляет $\beta = arccos(1/3)$. Горизонтальная компонента силы $T$ сообщает телу центростремительное ускорение, поэтому: $3mg \cdot \sin \beta = m \omega^{2}r$, где $r = L \cdot \sin \beta$ есть радиус окружности, по которой вращается груз. Отсюда несложно выразить частоту вращения стержня, при которой происходит его разрыв.
Ответ. Стержень разорвётся при частоте вращения $\omega = (3g/L)^{1/2}$.
На гладком конусе с углом при вершине $120^{ \circ}$ шарнирно закреплён невесомый нерастяжимый стержень длиной $L$ (см. рис.). К концу стержня прикреплён груз. Вся система вращается вокруг вертикальной оси. При какой частоте вращения груз разорвёт стержень, если стержень выдерживает утроенный вес груза?
Решение:
Выясним, может ли произойти разрыв стержня, когда груз ещё не оторвался от конуса. Рассмотрим предельный случай, когда сила реакции опоры равна нулю. Используя второй закон Ньютона, запишем векторное уравнение сил (см. рисунок), действующих на груз: $m \vec{a} = \vec{T} + m \vec{g}$. Проекции этого уравнения на выбранные оси координат суть $ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$ и $ma \sin \alpha = T - mg \cos \alpha$. Из уравнений следует, что $T = mg/ \cos \alpha$. При $\alpha = 60^{ \circ} C$, в частности, получаем величину силы натяжения нити, $T = 2mg$. Очевидно, что она меньше силы, которую выдерживает стержень. Отсюда следует, что для того, чтобы произошёл разрыв стержня груз должен подняться над конусом. Из выражения для силы натяжения $T$ следует, что в момент разрыва стержня угол между стержнем и вертикалью составляет $\beta = arccos(1/3)$. Горизонтальная компонента силы $T$ сообщает телу центростремительное ускорение, поэтому: $3mg \cdot \sin \beta = m \omega^{2}r$, где $r = L \cdot \sin \beta$ есть радиус окружности, по которой вращается груз. Отсюда несложно выразить частоту вращения стержня, при которой происходит его разрыв.
Ответ. Стержень разорвётся при частоте вращения $\omega = (3g/L)^{1/2}$.
