Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5241
2017-11-19 
Математический маятник длиной $L$, совершая малые колебания, может абсолютно упруго соударяться со стенкой (см. рис.). Угол $\alpha$, который стенка образует с вертикалью, мал. В начальный момент маятнику, находящемуся в положении равновесия, сообщают некоторую скорость $V$. Найти зависимость периода колебаний маятника от величины его начальной скорости. Время соударений маятника со стенкой мало.
Решение:
Максимальная высота подъёма маятника, которому сообщили скорость $V$, равна $h = V^{2} /2g$. Максимальный угол, на который отклоняется шарик есть $\alpha_{max} = arccos(1 - V^{2}/2gL) \gg V/g^{1/2}L^{1/2}$ (последнее приближённое равенство получается, если колебания малые). Если угол $\alpha$ достаточно большой ($\alpha_{max} \leq \alpha$), то наличие стенки никак не скажется на периоде колебаний маятника $T_{0} = 2 \pi L^{1/2}/g^{1/2} \gg 2 \pi (L \alpha_{max}/V)$. В противном случае ($\alpha_{max} > \alpha$) шарик будет мгновенно изменять свою скорость на противоположную при каждом ударе о стену. Период колебаний маятника при этом будет меньше $T_{0}$ ровно на удвоенное время движения шарика от положения, в котором угол отклонения равен $\alpha$, до максимального отклонения (угол равен $\alpha_{max}$): $T_{1} = T_{0} - 2t_{ \alpha}$. При гармонических колебаниях угол отклонения шарика изменяется как $\alpha = \alpha_{max} \cos (2 \pi t/T)$, поэтому $t_{ \alpha} = T_{0}/ 2 \pi arccos ( \alpha / \alpha{max})$, и $T_{1} = 2 [ \pi - arccos( \alpha / \alpha_{max})]L^{1/2}g^{1/2}$. Зависимость периода колебаний маятника от величины его начальной скорости представлена на рисунке.
Ответ. Если начальная скорость маятника небольшая ($V \leq \alpha L^{1/2}/g^{1/2}$), то его период колебаний как и у обычного маятника $T_{0} = 2 \pi L^{1/2} /g^{1/2}$. Иначе, когда $V > \alpha g^{1/2} L^{1/2}$, период колебаний маятника становится меньше, $T_{1} = 2[ \pi - arccos( \alpha g^{1/2} L^{1/2}/V)]L^{1/2}g^{1/2}$.
Математический маятник длиной $L$, совершая малые колебания, может абсолютно упруго соударяться со стенкой (см. рис.). Угол $\alpha$, который стенка образует с вертикалью, мал. В начальный момент маятнику, находящемуся в положении равновесия, сообщают некоторую скорость $V$. Найти зависимость периода колебаний маятника от величины его начальной скорости. Время соударений маятника со стенкой мало.
Решение:
Максимальная высота подъёма маятника, которому сообщили скорость $V$, равна $h = V^{2} /2g$. Максимальный угол, на который отклоняется шарик есть $\alpha_{max} = arccos(1 - V^{2}/2gL) \gg V/g^{1/2}L^{1/2}$ (последнее приближённое равенство получается, если колебания малые). Если угол $\alpha$ достаточно большой ($\alpha_{max} \leq \alpha$), то наличие стенки никак не скажется на периоде колебаний маятника $T_{0} = 2 \pi L^{1/2}/g^{1/2} \gg 2 \pi (L \alpha_{max}/V)$. В противном случае ($\alpha_{max} > \alpha$) шарик будет мгновенно изменять свою скорость на противоположную при каждом ударе о стену. Период колебаний маятника при этом будет меньше $T_{0}$ ровно на удвоенное время движения шарика от положения, в котором угол отклонения равен $\alpha$, до максимального отклонения (угол равен $\alpha_{max}$): $T_{1} = T_{0} - 2t_{ \alpha}$. При гармонических колебаниях угол отклонения шарика изменяется как $\alpha = \alpha_{max} \cos (2 \pi t/T)$, поэтому $t_{ \alpha} = T_{0}/ 2 \pi arccos ( \alpha / \alpha{max})$, и $T_{1} = 2 [ \pi - arccos( \alpha / \alpha_{max})]L^{1/2}g^{1/2}$. Зависимость периода колебаний маятника от величины его начальной скорости представлена на рисунке.
Ответ. Если начальная скорость маятника небольшая ($V \leq \alpha L^{1/2}/g^{1/2}$), то его период колебаний как и у обычного маятника $T_{0} = 2 \pi L^{1/2} /g^{1/2}$. Иначе, когда $V > \alpha g^{1/2} L^{1/2}$, период колебаний маятника становится меньше, $T_{1} = 2[ \pi - arccos( \alpha g^{1/2} L^{1/2}/V)]L^{1/2}g^{1/2}$.
