Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5222
2017-11-19 
В мензурке достаточной высоты упруго скачет большое количество шариков. Каждый из них долетает ровно до отметки 750 мл. В некоторый момент мензурку начинают опускать вниз с ускорением $g/2$. Какая часть шариков после этого будет долетать до отметки 1 литр? Шарики не сталкиваются друг с другом и ударяются о дно мензурки в случайные моменты времени. Мензурка имеет цилиндрическую форму.
Решение:
Обозначим высоту отметки 1 литр как $h$ и рассмотрим один из шариков, летающих в мензурке. Его энергия равна $3mgh/4$ (отсчитываем потенциальную энергию от дна мензурки). Пусть в момент начала движения мензурки высота шарика над дном была равна $h_{1}$. Перейдём в систему отсчёта мензурки. Если мензурка движется с ускорением $g/2$ вниз, эффективное ускорение свободного падения в такой системе равняется $g/2$. Поэтому начало движения мензурки эквивалентно уменьшению ускорения свободного падения наполовину. При таком изменении кинетическая энергия шарика не меняется, а его потенциальная энергия уменьшается на $mgh_{1}/2$. Полная энергия шарика будет равняться $3mgh/4 - mgh_{1}/2$. Шарик будет долетать до высоты $h$ (отметки 1 литр), если его энергия превосходит $mgh/2$. В результате получаем условие:
$\frac{3}{4} mgh - \frac{1}{2} mgh_{1} \geq \frac{1}{2} mgh$,
означающее, что $h/2 \geq h_{1}$. Таким образом, если в момент начала движения шарик находится ниже отметки 500 мл, он будет долетать до отметки 1 литр, а если выше то не будет. Рассмотрим движение шарика от отметки 750 мл к дну мензурки, до начала её движения. Первую часть пути (от отметки 750 мл до 500 мл) он проходит за время $t_{1} = (2h/4g)^{1/2}$. Весь путь он проходит за время $t_{2} = (6h/4g)^{1/2}$. Следовательно, шарик проводит в нижней части мензурки $( \sqrt{3} - 1)/ \sqrt{3} \cong 42$% всего времени. В произвольный момент времени примерно 42% шариков окажется в нижней части мензурки и, следовательно, достигнет отметки 1 литр, если мензурку начать опускать.
Ответ. Примерно 42% шариков будет долетать до отметки 1 литр, если мензурку начать опускать с ускорением $g/2$.
В мензурке достаточной высоты упруго скачет большое количество шариков. Каждый из них долетает ровно до отметки 750 мл. В некоторый момент мензурку начинают опускать вниз с ускорением $g/2$. Какая часть шариков после этого будет долетать до отметки 1 литр? Шарики не сталкиваются друг с другом и ударяются о дно мензурки в случайные моменты времени. Мензурка имеет цилиндрическую форму.
Решение:
Обозначим высоту отметки 1 литр как $h$ и рассмотрим один из шариков, летающих в мензурке. Его энергия равна $3mgh/4$ (отсчитываем потенциальную энергию от дна мензурки). Пусть в момент начала движения мензурки высота шарика над дном была равна $h_{1}$. Перейдём в систему отсчёта мензурки. Если мензурка движется с ускорением $g/2$ вниз, эффективное ускорение свободного падения в такой системе равняется $g/2$. Поэтому начало движения мензурки эквивалентно уменьшению ускорения свободного падения наполовину. При таком изменении кинетическая энергия шарика не меняется, а его потенциальная энергия уменьшается на $mgh_{1}/2$. Полная энергия шарика будет равняться $3mgh/4 - mgh_{1}/2$. Шарик будет долетать до высоты $h$ (отметки 1 литр), если его энергия превосходит $mgh/2$. В результате получаем условие:
$\frac{3}{4} mgh - \frac{1}{2} mgh_{1} \geq \frac{1}{2} mgh$,
означающее, что $h/2 \geq h_{1}$. Таким образом, если в момент начала движения шарик находится ниже отметки 500 мл, он будет долетать до отметки 1 литр, а если выше то не будет. Рассмотрим движение шарика от отметки 750 мл к дну мензурки, до начала её движения. Первую часть пути (от отметки 750 мл до 500 мл) он проходит за время $t_{1} = (2h/4g)^{1/2}$. Весь путь он проходит за время $t_{2} = (6h/4g)^{1/2}$. Следовательно, шарик проводит в нижней части мензурки $( \sqrt{3} - 1)/ \sqrt{3} \cong 42$% всего времени. В произвольный момент времени примерно 42% шариков окажется в нижней части мензурки и, следовательно, достигнет отметки 1 литр, если мензурку начать опускать.
Ответ. Примерно 42% шариков будет долетать до отметки 1 литр, если мензурку начать опускать с ускорением $g/2$.
