Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5221
2017-11-19 
Вдоль бесконечно длинной дороги стоят шлагбаумы, отделённые друг от друга одинаковыми расстояниями. Каждый шлагбаум периодически открывается на период $T_{1} = 1,1 \tau$, а затем закрывается на время $T_{2} = 0,9 \tau$, причём, каждый последующий шлагбаум открывается через некоторое, одинаковое для всех шлагбаумов, время после предыдущего. При каких расстояниях между шлагбаумами возможно равномерное безостановочное движение машин со скоростью $V$ в обе стороны? Как изменится ответ, если $T_{2} = 1,1 \tau$,а $T_{1} = 0,9 \tau$?
Решение:
В отличие от задачи 5220, здесь нас интересует безостановочное движение с одинаковой скоростью $V$ в обоих направлениях. Это условие даёт возможность определить сдвиг по времени при работе шлагбаумов. Поскольку все шлагбаумы находятся на равных расстояниях и работают с одинаковым периодом, то машина всё время должна попадать в один и тот же момент цикла работы каждого шлагбаума. Пусть это будет момент открытия шлагбаума. Единственный возможный вариант безостановочного движения с одной и той же скоростью в двух направлениях между двумя шлагбаумами изображён на рисунке (сдвиг по времени в работе соседних шлагбаумов равен $t$). Обозначим $T$ — период работы шлагбаума, $L$ — расстояние между ними. Максимально возможная скорость безостановочного равномерного движения в обе стороны должна быть такова, чтобы расстояние между двумя шлагбаумами машина проходила за время $t = T/2$. На другом рисунке представлен пространственно-временной график работы шлагбаумов. Безостановочное движение в обе стороны возможно со скоростями $V_{n} = 2L/(2n + 1)T (n = 0, 1, 2, 3, \cdots )$. Помимо этого возможны ещё и траектории типа A, которые мы назовём неустойчивыми. Двигаясь по ним, машина приходит к одному шлагбауму в момент открытия его, а следующий проезжает перед самым закрытием. Возможные скорости вдоль таких траекторий будут выражаться формулой $V_{n} = 2L/2nT (n =1, 2, 3, \cdots )$. В первом режиме работы шлагбаумов (при $T_{1} = 0,9t, T_{0} = 1,1 \tau$) возможны оба типа траекторий, и ответ в этом случае будет $L = nV \cdot T/2$. Во втором режиме работы шлагбаумов (при $T_{0} = 0,9 \tau$, а $T_{1} = 1,1 \tau$) неустойчивые траектории невозможны. Они могут быть реализованы только при $T_{0} \geq T_{1}$. Следовательно, в этом случае ответ будет $L = (2n + 1)V \cdot T/2$.
Ответ. Если каждый шлагбаум периодически открывается на период $T_{0} = 1,1 \tau$, а затем закрывается на время $T_{3} = 0,9 \tau$, то равномерное безостановочное движение машин со скоростью $V$ в обе стороны возможно, если расстояния между шлагбаумами $L = nVT/2$. При втором режиме работы шлагбаумов $L = (2n + 1)VT/2$.
Вдоль бесконечно длинной дороги стоят шлагбаумы, отделённые друг от друга одинаковыми расстояниями. Каждый шлагбаум периодически открывается на период $T_{1} = 1,1 \tau$, а затем закрывается на время $T_{2} = 0,9 \tau$, причём, каждый последующий шлагбаум открывается через некоторое, одинаковое для всех шлагбаумов, время после предыдущего. При каких расстояниях между шлагбаумами возможно равномерное безостановочное движение машин со скоростью $V$ в обе стороны? Как изменится ответ, если $T_{2} = 1,1 \tau$,а $T_{1} = 0,9 \tau$?
Решение:
В отличие от задачи 5220, здесь нас интересует безостановочное движение с одинаковой скоростью $V$ в обоих направлениях. Это условие даёт возможность определить сдвиг по времени при работе шлагбаумов. Поскольку все шлагбаумы находятся на равных расстояниях и работают с одинаковым периодом, то машина всё время должна попадать в один и тот же момент цикла работы каждого шлагбаума. Пусть это будет момент открытия шлагбаума. Единственный возможный вариант безостановочного движения с одной и той же скоростью в двух направлениях между двумя шлагбаумами изображён на рисунке (сдвиг по времени в работе соседних шлагбаумов равен $t$). Обозначим $T$ — период работы шлагбаума, $L$ — расстояние между ними. Максимально возможная скорость безостановочного равномерного движения в обе стороны должна быть такова, чтобы расстояние между двумя шлагбаумами машина проходила за время $t = T/2$. На другом рисунке представлен пространственно-временной график работы шлагбаумов. Безостановочное движение в обе стороны возможно со скоростями $V_{n} = 2L/(2n + 1)T (n = 0, 1, 2, 3, \cdots )$. Помимо этого возможны ещё и траектории типа A, которые мы назовём неустойчивыми. Двигаясь по ним, машина приходит к одному шлагбауму в момент открытия его, а следующий проезжает перед самым закрытием. Возможные скорости вдоль таких траекторий будут выражаться формулой $V_{n} = 2L/2nT (n =1, 2, 3, \cdots )$. В первом режиме работы шлагбаумов (при $T_{1} = 0,9t, T_{0} = 1,1 \tau$) возможны оба типа траекторий, и ответ в этом случае будет $L = nV \cdot T/2$. Во втором режиме работы шлагбаумов (при $T_{0} = 0,9 \tau$, а $T_{1} = 1,1 \tau$) неустойчивые траектории невозможны. Они могут быть реализованы только при $T_{0} \geq T_{1}$. Следовательно, в этом случае ответ будет $L = (2n + 1)V \cdot T/2$.
Ответ. Если каждый шлагбаум периодически открывается на период $T_{0} = 1,1 \tau$, а затем закрывается на время $T_{3} = 0,9 \tau$, то равномерное безостановочное движение машин со скоростью $V$ в обе стороны возможно, если расстояния между шлагбаумами $L = nVT/2$. При втором режиме работы шлагбаумов $L = (2n + 1)VT/2$.
