Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 521
2014-06-01 
На покоящуюся на гладкой горизонтальной поверхности систему, состоящую из двух шариков массой $m$ каждый, соединенных пружиной, налетает слева шарик массой $M$ (рис.). При этом происходит лобовой абсолютно упругий удар. Найти приближенно отношение масс $\frac{m}{M} = \gamma$, при котором удар произойдет еще раз.
Решение:
После соударении шаров 1 и 2 шар 1 будет двигаться поступательно с некоторой постоянной скоростью. Центр масс системы шаров 2 и 3 тоже будет двигаться поступательно с постоянной скоростью, и. кроме того, шары 2 и 3 будут колебаться относительно их центра масс. Для того чтобы ответить на вопрос, столкнутся ли шары 1 и 2 второй раз, нужно найти зависимость координат этих шариков от времени и посмотреть, могут ли эти координаты совпасть. Будем считать, что соударение является мгновенным. В этом случае оно происходит так же, как соударение двух свободных шариков, не связанных с другими телами. Поэтому можно применять законы сохранения импульса и энергии. Обозначив скорость шара 1 до соударения через $\bar{v}_{0}$, его скорость после соударения — через $\bar{v}_{1}$ и скорость шара 2 после соударения — через $\bar{v}_{2}$, можно записать:
$Mv_{0} = Mv_{1} + mv_{2}$,
$\frac{Mv^{2}_{0}}{2} = \frac{Mv^{2}_{1}}{2} + \frac{mv^{2}_{2}}{2}$.
Решая совместно эти уравнения относительно $v_{1}$, и $v_{2}$, находим:
$v_{1} = v_{0} \frac{M-m}{M+m} = v_{0} \frac{1- \gamma}{1+ \gamma}$,
$v_{2} = v_{0} \frac{2}{1+ \gamma}$.
После соударения шар 1 будет двигаться равномерно и его координаты будут изменяться со временем по закону
$x_{1} = v_{1}t = v_{0} \frac{1- \gamma}{1+ \gamma} t$.
Центр масс шаров 2 и 3 будет двигаться тоже равномерно, но со скоростью
$v_{ц} = \frac{v_{2}}{2} = v_{0} \frac{1}{1+ \gamma}$
(шары 2 и 3 одинаковые). Это означает, что координата центра масс меняется со временем по формуле
$x_{ц}=v_{0} \frac{1}{1+ \gamma} t$.
Рассмотрим движение шаров 2 и 3 в системе координат, связанной с их центром масс. В этой системе в начальный момент шары движутся навстречу друг другу с равными по модулю скоростями. Поэтому в дальнейшем каждый из шаров будет совершать гармоническое колебание относительно центра масс по закону
$x=A \sin \omega t$.
Если жесткость половины пружины обозначить через $k$, то частота этих колебаний будет:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
Амплитуду колебаний $A$ можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии. В начальный момент пружина не деформирована, шар 2 имеет скорость $v_{2}/2$ и энергию
$\frac{mv^{2}_{0}}{2 (1+ \gamma)^{2}}$.
Эту энергию приравняем к энергии упругой деформации пружины в тот момент, когда отклонение шара от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$ колебаний:
$\frac{mv^{2}_{0}}{2 (1+ \gamma)^{2}} = \frac{kA^{2}}{2}$.
Отсюда
$A = \sqrt{\frac{ mv^{2}_{0}}{(1+ \gamma)^{2}k}} = \frac{v_{0}}{(1+ \gamma) \omega}$.
Теперь можно записать зависимость координаты шара 2 от времени в системе координат, связанной с горизонтальной плоскостью:
$x_{2} = v_{ц} t + A \sin \omega t = v_{0} t \frac{1}{1+ \gamma} t + \frac{v_{0}}{(1+\gamma) \omega} \sin \omega t$.
Шары 1 и 2 столкнутся еще раз, если возможно равенство
$x_{1}=x_{2}$,
т. е.
$v_{0} \frac{1 - \gamma }{1 + \gamma} = v_{0} t \frac{1}{1+ \gamma} \left ( 1 + \frac{1}{\omega t} \sin \omega t \right )$,
или
$\sin \omega t = - \gamma \omega t$.
Решение этого уравнения определится точками пересечения прямой $y = \gamma \phi$ и синусоиды $y =\sin \phi$ (рис.), причем решение существует, если $\gamma \leq \gamma_{1} \approx tg \: \gamma_{1}$. Из рисунка видно, что
$\gamma_{1} \approx \left ( \frac{3}{2} \pi \right )^{-1} \approx 0,21$.
Отношение масс шаров равно приблизительно 0,21.
На покоящуюся на гладкой горизонтальной поверхности систему, состоящую из двух шариков массой $m$ каждый, соединенных пружиной, налетает слева шарик массой $M$ (рис.). При этом происходит лобовой абсолютно упругий удар. Найти приближенно отношение масс $\frac{m}{M} = \gamma$, при котором удар произойдет еще раз.
Решение:
После соударении шаров 1 и 2 шар 1 будет двигаться поступательно с некоторой постоянной скоростью. Центр масс системы шаров 2 и 3 тоже будет двигаться поступательно с постоянной скоростью, и. кроме того, шары 2 и 3 будут колебаться относительно их центра масс. Для того чтобы ответить на вопрос, столкнутся ли шары 1 и 2 второй раз, нужно найти зависимость координат этих шариков от времени и посмотреть, могут ли эти координаты совпасть. Будем считать, что соударение является мгновенным. В этом случае оно происходит так же, как соударение двух свободных шариков, не связанных с другими телами. Поэтому можно применять законы сохранения импульса и энергии. Обозначив скорость шара 1 до соударения через $\bar{v}_{0}$, его скорость после соударения — через $\bar{v}_{1}$ и скорость шара 2 после соударения — через $\bar{v}_{2}$, можно записать:
$Mv_{0} = Mv_{1} + mv_{2}$,
$\frac{Mv^{2}_{0}}{2} = \frac{Mv^{2}_{1}}{2} + \frac{mv^{2}_{2}}{2}$.
Решая совместно эти уравнения относительно $v_{1}$, и $v_{2}$, находим:
$v_{1} = v_{0} \frac{M-m}{M+m} = v_{0} \frac{1- \gamma}{1+ \gamma}$,
$v_{2} = v_{0} \frac{2}{1+ \gamma}$.
После соударения шар 1 будет двигаться равномерно и его координаты будут изменяться со временем по закону
$x_{1} = v_{1}t = v_{0} \frac{1- \gamma}{1+ \gamma} t$.
Центр масс шаров 2 и 3 будет двигаться тоже равномерно, но со скоростью
$v_{ц} = \frac{v_{2}}{2} = v_{0} \frac{1}{1+ \gamma}$
(шары 2 и 3 одинаковые). Это означает, что координата центра масс меняется со временем по формуле
$x_{ц}=v_{0} \frac{1}{1+ \gamma} t$.
Рассмотрим движение шаров 2 и 3 в системе координат, связанной с их центром масс. В этой системе в начальный момент шары движутся навстречу друг другу с равными по модулю скоростями. Поэтому в дальнейшем каждый из шаров будет совершать гармоническое колебание относительно центра масс по закону
$x=A \sin \omega t$.
Если жесткость половины пружины обозначить через $k$, то частота этих колебаний будет:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
Амплитуду колебаний $A$ можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии. В начальный момент пружина не деформирована, шар 2 имеет скорость $v_{2}/2$ и энергию
$\frac{mv^{2}_{0}}{2 (1+ \gamma)^{2}}$.
Эту энергию приравняем к энергии упругой деформации пружины в тот момент, когда отклонение шара от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$ колебаний:
$\frac{mv^{2}_{0}}{2 (1+ \gamma)^{2}} = \frac{kA^{2}}{2}$.
Отсюда
$A = \sqrt{\frac{ mv^{2}_{0}}{(1+ \gamma)^{2}k}} = \frac{v_{0}}{(1+ \gamma) \omega}$.
Теперь можно записать зависимость координаты шара 2 от времени в системе координат, связанной с горизонтальной плоскостью:
$x_{2} = v_{ц} t + A \sin \omega t = v_{0} t \frac{1}{1+ \gamma} t + \frac{v_{0}}{(1+\gamma) \omega} \sin \omega t$.
Шары 1 и 2 столкнутся еще раз, если возможно равенство
$x_{1}=x_{2}$,
т. е.
$v_{0} \frac{1 - \gamma }{1 + \gamma} = v_{0} t \frac{1}{1+ \gamma} \left ( 1 + \frac{1}{\omega t} \sin \omega t \right )$,
или
$\sin \omega t = - \gamma \omega t$.
Решение этого уравнения определится точками пересечения прямой $y = \gamma \phi$ и синусоиды $y =\sin \phi$ (рис.), причем решение существует, если $\gamma \leq \gamma_{1} \approx tg \: \gamma_{1}$. Из рисунка видно, что
$\gamma_{1} \approx \left ( \frac{3}{2} \pi \right )^{-1} \approx 0,21$.
Отношение масс шаров равно приблизительно 0,21.
