Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5190
2017-11-19 
Грузы, имеющие массы $M$ и $m$ ($M > m$) при помощи невесомой нерастяжимой нити подвешены на блоке, как показано на рис. С каким минимальным ускорением нужно двигать блок в вертикальном направлении, чтобы ускорения грузов (относительно земли) были направлены в одну сторону? Грузы двигаются по вертикали. Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта «потолок», связанную с точкой крепления блока. Она — неинерциальна, поэтому, записывая уравнения движения, необходимо учесть силы инерции. В инерциальной системе отсчёта II-ой закон Ньютона таков: $\sum F_{k} = ma_{И}$, где $a_{И}$ — ускорение тела в инерциальной системе отсчёта. Пусть $a_{С}$ — ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной, а $a_{Н}$ — ускорение тела в этой неинерциальной системе, тогда $a_{И} = a_{Н} + a_{С}$. Второй закон Ньютона даст нам: $\sum F_{k} = m(a_{Н} + a_{С})$. Перенеся в левую часть и введя обозначение $F_{И} = - ma_{С}$, получим: $\sum F_{k} + F_{И} = ma_{И}$. То есть в неинерциальной системе отсчёта появляется сила инерции, которая равна минус масса тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы отсчёта.
В векторные уравнения будут такими: $M \vec{g} + \vec{F}_{И1} + \vec{T} = M \vec{a}, m \vec{g} + \vec{F}_{И2} + \vec{T} = m \vec{a}$. Так как нить нерастяжима и остаётся всё время натянутой, то ускорения обоих тел равны по модулю. Спроектируем эти уравнения на вертикальную ось, считая, что система движется вниз с ускорением $a_{С}: Mg - Ma_{С} - T = Ma, ma_{С} + T - mg = ma$. Исключая $T$ из этих уравнений, найдём $a = (M - m)(g - a_{С})/(M + m)$. Чтобы оба тела имели ускорение, направленное в одну сторону, тело, поднимающееся вверх в системе отсчёта «потолок», должно иметь отрицательное ускорение в системе отсчёта «пол», $a - a_{С} < 0$. Раскроем последнее неравенство: $(M - m)(g - a_{С})/(M + m) - a_{С} < 0$ или $a_{С} > (M - m)g/2M$. Рассмотрим теперь второй случай, когда система движется с ускорением $a_{С1}$ вверх: $Mg + Ma_{С1} - T = Ma, - ma_{С1} + T - mg = ma$. Откуда имеем $a = (M - m)(g + a_{С1})/(M + m)$. Оба тела имели ускорение в одну сторону, поэтому тело, опускающееся вниз в системе отсчёта «потолок», должно иметь положительное ускорение в системе отсчёта «пол»: $a_{С1} - a > 0$. Раскроем это неравенство: $a_{С1} - (M - m)(g + a_{С1})/(M + m) > 0$ или $a_{С1} > (M - m)g/2m$. Следовательно, $a_{С} < a_{C1}$.
Ответ. Ускорения грузов будут направлены в одну сторону, если вертикальное ускорение (направленное вниз) блока будет больше, чем $(M - m)g/2M$.
Грузы, имеющие массы $M$ и $m$ ($M > m$) при помощи невесомой нерастяжимой нити подвешены на блоке, как показано на рис. С каким минимальным ускорением нужно двигать блок в вертикальном направлении, чтобы ускорения грузов (относительно земли) были направлены в одну сторону? Грузы двигаются по вертикали. Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта «потолок», связанную с точкой крепления блока. Она — неинерциальна, поэтому, записывая уравнения движения, необходимо учесть силы инерции. В инерциальной системе отсчёта II-ой закон Ньютона таков: $\sum F_{k} = ma_{И}$, где $a_{И}$ — ускорение тела в инерциальной системе отсчёта. Пусть $a_{С}$ — ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной, а $a_{Н}$ — ускорение тела в этой неинерциальной системе, тогда $a_{И} = a_{Н} + a_{С}$. Второй закон Ньютона даст нам: $\sum F_{k} = m(a_{Н} + a_{С})$. Перенеся в левую часть и введя обозначение $F_{И} = - ma_{С}$, получим: $\sum F_{k} + F_{И} = ma_{И}$. То есть в неинерциальной системе отсчёта появляется сила инерции, которая равна минус масса тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы отсчёта.
В векторные уравнения будут такими: $M \vec{g} + \vec{F}_{И1} + \vec{T} = M \vec{a}, m \vec{g} + \vec{F}_{И2} + \vec{T} = m \vec{a}$. Так как нить нерастяжима и остаётся всё время натянутой, то ускорения обоих тел равны по модулю. Спроектируем эти уравнения на вертикальную ось, считая, что система движется вниз с ускорением $a_{С}: Mg - Ma_{С} - T = Ma, ma_{С} + T - mg = ma$. Исключая $T$ из этих уравнений, найдём $a = (M - m)(g - a_{С})/(M + m)$. Чтобы оба тела имели ускорение, направленное в одну сторону, тело, поднимающееся вверх в системе отсчёта «потолок», должно иметь отрицательное ускорение в системе отсчёта «пол», $a - a_{С} < 0$. Раскроем последнее неравенство: $(M - m)(g - a_{С})/(M + m) - a_{С} < 0$ или $a_{С} > (M - m)g/2M$. Рассмотрим теперь второй случай, когда система движется с ускорением $a_{С1}$ вверх: $Mg + Ma_{С1} - T = Ma, - ma_{С1} + T - mg = ma$. Откуда имеем $a = (M - m)(g + a_{С1})/(M + m)$. Оба тела имели ускорение в одну сторону, поэтому тело, опускающееся вниз в системе отсчёта «потолок», должно иметь положительное ускорение в системе отсчёта «пол»: $a_{С1} - a > 0$. Раскроем это неравенство: $a_{С1} - (M - m)(g + a_{С1})/(M + m) > 0$ или $a_{С1} > (M - m)g/2m$. Следовательно, $a_{С} < a_{C1}$.
Ответ. Ускорения грузов будут направлены в одну сторону, если вертикальное ускорение (направленное вниз) блока будет больше, чем $(M - m)g/2M$.
