2014-06-01
Сани с грузом, едущие по льду, попадают на участок, посыпанный песком, и, не пройдя и половины своей длины, останавливаются не разворачиваясь. После этого им резким толчком сообщают первоначальную скорость.
Найдите отношение путей и времен торможения до первой остановки и после резкого толчка.
Решение:
Сила трения саней с грузом $F_{тр}(x)$ прямо пропорциональна длине $x$ въехавшей на песок части саней; запишем уравнение движения саней при их торможении по песку в первом случае:
$ma = - m g (x/l) \mu$,
где $m$ - масса, $a$ - ускорение, $l$ - длина, $\mu$ - коэффициент трения саней о песок. Как и в решении задачи
Задача по физике 516, мы получили «уравнение колебаний». Поэтому торможение саней при въезде на песок соответствует движению груза на пружине (жесткости $k = (mg/l) \mu$), которому сообщили в положении равновесия скорость $v_{0}$. Тогда зависимость от времени въехавшей на песок части саней $x(t)$ и их скорость $v(t)$ получим в виде
$x(t)=x_{0} \sin \omega_{0}t, v(t) = v_{0} \cos \omega_{0} t$,
причем
$x_{0}=v_{0}/ \omega_{0}, \omega_{0} = \sqrt{k/m} = \sqrt{(g/l) \mu}$.
Нетрудно понять, что время до полной остановки саней равно четверти «периода колебаний»; таким образом.
$t_{1} = \pi / (2 \omega_{0}) = (\pi / 2) \sqrt{l/(\mu g)}$.
Во втором случае (после резвого толчка) движение можно рассматривать, как если бы сани, въезжал на песок, имели скорость $v_{1} > v_{0}$ и, пройдя расстояние $x_{0}$, затормозились до скорости $v_{0}$ (с этого момента и наступает второй случай). При этом интересующее нас движение саней после толчка предстанет в виде части общего колебательного движения по закону
$x(t)=x_{1} \sin \omega_{0}t, v(t) = v_{1} \cos \omega_{0} t$,
с момента времени $t_{2}$, когда скорость саней стала равной $v_{0}$. Как и прежде, $x_{1} = v_{1}/ \omega_{0}$. Кроме того,
$[mg/(2l)] \mu x^{2}_{0} = mv^{2}_{1}/2 – m v^{2}_{0}/2$;
отсюда $v_{1} = x_{0} \omega_{0} \sqrt{2}$.
После толчка сани пройдут путь
$x_{1} – x_{0} = v_{1}/ \omega_{0} – v_{0} / \omega_{0} = (1/ \omega_{0}) (v_{1}-v_{0}) = x_{0} (\sqrt{2} - 1)$.
Следовательно, отношение путей торможения равно
$(x_{1}-x_{0})/x_{0} = \sqrt{2} - 1$.
Для нахождения времени движения саней после толчка мы должны определить время движения саней от положения $x_{0}$ до положения $x_{1}$, используя формулу $ x(t)=x_{1} \sin \omega_{0}t $. Для этого найдем $t_{2}$ по формуле
$x_{0} = x_{1} \sin \omega_{0} t_{2}$.
Так как $x_{1} = \sqrt{2} x_{0}$, то $\omega_{0} t_{2} = \pi /4$. Следовательно, $t_{2} = \pi / (4 \omega_{0}) = t_{1}/2$. Поскольку $t_{3}=t_{1}-t_{2}$, где $t_{3}$ - время движения саней после толчка, получим искомое соотношение:
$t_{3}/t_{1}=1/2$.