Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5155
2017-11-19 
U-образный сосуд с одной стороны закрыт плотно прилегающим к его краям поршнем и заполнен водой, как показано на рис. В трубку B начинают медленно заливать воду. Как только высота уровня воды в нём достигает $h = 5 м$, поршень приподнимается. В этот момент воду заливать прекращают. На какой высоте $h^{ \prime}$ установится вода в трубке B? Площади сечения трубки B и узкой части трубки A равны. Площади сечения широкой и узкой частей трубки A равны соответственно $S_{1} = 4 м^{2}$ и $S_{2} = 3 м^{2}$. Высота узкой части трубки A $x = 1 м$.
Решение:
Обозначим за $m$ — массу поршня, $S_{1}$ — площадь сечения широкой части трубки A, $S_{2}$ — площадь сечения узкой части трубки A. Рассмотрим момент, когда поршень начинает приподниматься. На поршень действует сила давления воздуха сверху $p_{0}S_{1}$, сила тяжести $mg$, сила давления воды снизу, равная $( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2}$. Тогда условие равновесие поршня в предельном случае:
$( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2} = p_{0} S_{1} + mg$,
$( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2} = p_{0} S_{1} + mg \Rightarrow mg = \rho g (h - x)S_{2} + p_{0}(S_{1} - S_{2})$.
Пусть новый уровень воды в трубке B равен $h^{ \prime}$, а поршень поднялся на высоту $y$ относительно исходного положения (см. рисунок). Так как суммарный объём воды сохраняется, то, очевидно, $(h - h^{ \prime})S_{2} = yS_{1} \Rightarrow y = (h - h^{ \prime}) \frac{S_{2}}{S_{1}}$. Равенство давлений внизу трубок A и B: $p_{0} + \frac{mg}{S_{1}} + \rho g(y + x) = p_{0} + \rho gh^{ \prime}$. Подставляя полученные выражения для $y$ и $mg$, можно выразить $h^{ \prime}$:
$h^{ \prime} = \frac{1}{S_{1} + S_{2}} \left [ 2hS_{2} - \left ( \frac{p_{0}}{ \rho g} - x \right ) (S_{1} - S_{2}) \right ] = \frac{1}{7} [10 \cdot 3 - (10 - 1) \cdot 1] м = 3 м$.
Ответ. Вода в трубке установится на высоте 3 м.
U-образный сосуд с одной стороны закрыт плотно прилегающим к его краям поршнем и заполнен водой, как показано на рис. В трубку B начинают медленно заливать воду. Как только высота уровня воды в нём достигает $h = 5 м$, поршень приподнимается. В этот момент воду заливать прекращают. На какой высоте $h^{ \prime}$ установится вода в трубке B? Площади сечения трубки B и узкой части трубки A равны. Площади сечения широкой и узкой частей трубки A равны соответственно $S_{1} = 4 м^{2}$ и $S_{2} = 3 м^{2}$. Высота узкой части трубки A $x = 1 м$.
Решение:
Обозначим за $m$ — массу поршня, $S_{1}$ — площадь сечения широкой части трубки A, $S_{2}$ — площадь сечения узкой части трубки A. Рассмотрим момент, когда поршень начинает приподниматься. На поршень действует сила давления воздуха сверху $p_{0}S_{1}$, сила тяжести $mg$, сила давления воды снизу, равная $( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2}$. Тогда условие равновесие поршня в предельном случае:
$( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2} = p_{0} S_{1} + mg$,
$( \rho g(h - x) + p_{0})S_{2} = p_{0} S_{1} + mg \Rightarrow mg = \rho g (h - x)S_{2} + p_{0}(S_{1} - S_{2})$.
Пусть новый уровень воды в трубке B равен $h^{ \prime}$, а поршень поднялся на высоту $y$ относительно исходного положения (см. рисунок). Так как суммарный объём воды сохраняется, то, очевидно, $(h - h^{ \prime})S_{2} = yS_{1} \Rightarrow y = (h - h^{ \prime}) \frac{S_{2}}{S_{1}}$. Равенство давлений внизу трубок A и B: $p_{0} + \frac{mg}{S_{1}} + \rho g(y + x) = p_{0} + \rho gh^{ \prime}$. Подставляя полученные выражения для $y$ и $mg$, можно выразить $h^{ \prime}$:
$h^{ \prime} = \frac{1}{S_{1} + S_{2}} \left [ 2hS_{2} - \left ( \frac{p_{0}}{ \rho g} - x \right ) (S_{1} - S_{2}) \right ] = \frac{1}{7} [10 \cdot 3 - (10 - 1) \cdot 1] м = 3 м$.
Ответ. Вода в трубке установится на высоте 3 м.
