2014-06-01
Тело соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения $\mu$ между телом и наклонной плоскостью изменяется с увеличением расстояния $l$ от вершины наклонной плоскости по закону $\mu = bl$. Тело останавливается, не дойдя до конца наклонной плоскости.
Найдите время $t$, прошедшее с начала движения тела до его остановки.
Решение:
Запишем уравнение движения чела по наклонной плоскости. Пусть его мгновенная координата равна $x$ (смешение от вершины наклонной плоскости), тогда
$ma = mg \sin \alpha – mg \cos \alpha \cdot bx$,
где $m$ - масса тела, $a$ - его ускорение. Полученное уравнение движения по своему виду напоминает уравнение колебаний тела, подвешенного на пружине жесткости $k = mg \cos \alpha \cdot b$, в поле «силы тяжести» $mg \sin \alpha$. Аналогия с колебательным движением и помогает решить задачу.
Найдем положение тела $x_{0}$, для которого сумма действующих на тело сил равна нулю - это будет «положением равновесия» при колебательном движении тела. Очевидно, $mg \sin \alpha – mg \cos \alpha \cdot bx_{0}= 0$; отсюда находим $x_{0} = (1/b) tg \: \alpha $. В этот момент тело будет иметь скорость $v_{0}$, которую получим из закона изменения механической энергии тела:
$\frac{mv^{2}_{0}}{2}= mg \sin \alpha \cdot x_{0} - \frac{kx_{0}^{2}}{2} = mg \sin \alpha \cdot x_{0} - \frac{mgb \cos \alpha}{2} x^{2}_{0}$,
$v^{2}_{0}=2g x_{0} \sin \alpha – gb x^{2}_{0} \cos \alpha = \frac{g}{b} \frac{\sin^{2} \alpha}{ \cos \alpha}$.
При последующем движении тело сместится еще на величину $x_{0}$ - «амплитудное» значение колебаний, что легко получить из «закона сохранения механической энергии». Частоту соответствующего колебательного движения найдем из соотношения $k/m=gb \cos \alpha - \omega^{2}_{0}$.
Таким образом, тело, пройдя после «положения равновесия» еще расстояние $x_{0} = (1/b) tg \: \alpha$, остановится. В этот момент возвращающая сила «пропадет», так как она есть не что иное, как сила трения скольжения. Как только тело остановится, сила трения скольжения изменит направление и превратится в силу трения покоя, равную $mg \sin \alpha$. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью в месте остановки тела равен $\mu_{ост} =b \cdot x_{0} = 2 tg \: \alpha$, т. е. его заведомо хватит, чтобы тело оставалось в покое и дальше.
С точки зрения колебательного подхода к описанию данного движения полное время движения тела займет половину «периода колебаний». Таким образом.
$t = T/2 = 2 \pi (2 \omega_{0}) = \pi / \sqrt{gb \cos \alpha}$