Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5149
2017-11-19 
Два кубика весом $P_{1}$ и $P_{2}$ и рёбрами и $b$ соответственно соединены невесомым тонким стержнем длиной $L$. Система погружена в жидкость плотности $\rho$. Где надо поместить точку опоры, чтобы стержень был в равновесии?
Решение:
Центр масс системы в состоянии равновесия будет находиться ровно над точкой опоры. Найдём эту точку. Выразим плотности кубиков: $\rho_{1} = P_{1} / ga^{3}$ и $\rho_{2} = P_{2}/gb^{3}$. Вес первого кубика в воде равен $( \rho_{1} - \rho )a^{3}$, а момент, создаваемый им, есть $( \rho_{1} - \rho )a^{3}(x + a/2)$, где $x$ — искомая координата точки опоры. Аналогично можно написать выражение для момента, создаваемого другим кубиком. Координата точки опоры выражается через условие равновесия моментов (правило рычага):
$( \rho_{1} - \rho )a^{3}(x + a/2) = ( \rho_{2} - \rho )b^{3}(L - x + b/2)$.
Разрешая уравнение относительно $x$, получим:
$x = \frac{ ( \rho_{2} - \rho ) b^{3}L}{ ( \rho_{1} - \rho ) a^{3} + ( \rho_{2} - \rho ) b^{3}} - \frac{1}{2} \frac{ ( \rho_{2} - \rho )b^{4} - ( \rho_{1} - \rho ) a^{4}}{ ( \rho_{1} - \rho )a^{3} + ( \rho_{2} - \rho ) b^{3} }$.
Результат имеет смысл, когда $x < L$. Допустим, для определённости, что вещество первого куба плотнее жидкости, $\rho_{1} > \rho$. Тогда должно быть выполнено: $\rho_{2} > \rho + ( \rho_{1} - \rho )( a^{4}/ b^{4})$. В обратном случае следует обратить знаки.
Ответ. Решение задачи существует, когда либо $P_{1} > \rho ga^{3}$ и $P_{2}/gb^{3} > \rho + ( P_{1} / ga^{3} - \rho )( a^{4}/ b^{4})$, либо $P_{1} < \rho ga^{3}$ и $P_{2}/gb^{3} < \rho + (P_{1}/ga^{3} - \rho)( a^{4}/ b^{4})$. В этих случаях система находится в равновесии, если её опора расположена в точке
$x = L \frac{Q_{1}}{Q_{1} + Q_{2}} + \frac{1}{2} \frac{aQ_{1} - bQ_{2}}{Q_{1} + Q_{2}}$, где $Q_{1} = \frac{P_{1}}{g \rho} - a^{3}, Q_{2} = \frac{P_{2}}{g \rho} - b^{3}$.
Два кубика весом $P_{1}$ и $P_{2}$ и рёбрами и $b$ соответственно соединены невесомым тонким стержнем длиной $L$. Система погружена в жидкость плотности $\rho$. Где надо поместить точку опоры, чтобы стержень был в равновесии?
Решение:
Центр масс системы в состоянии равновесия будет находиться ровно над точкой опоры. Найдём эту точку. Выразим плотности кубиков: $\rho_{1} = P_{1} / ga^{3}$ и $\rho_{2} = P_{2}/gb^{3}$. Вес первого кубика в воде равен $( \rho_{1} - \rho )a^{3}$, а момент, создаваемый им, есть $( \rho_{1} - \rho )a^{3}(x + a/2)$, где $x$ — искомая координата точки опоры. Аналогично можно написать выражение для момента, создаваемого другим кубиком. Координата точки опоры выражается через условие равновесия моментов (правило рычага):
$( \rho_{1} - \rho )a^{3}(x + a/2) = ( \rho_{2} - \rho )b^{3}(L - x + b/2)$.
Разрешая уравнение относительно $x$, получим:
$x = \frac{ ( \rho_{2} - \rho ) b^{3}L}{ ( \rho_{1} - \rho ) a^{3} + ( \rho_{2} - \rho ) b^{3}} - \frac{1}{2} \frac{ ( \rho_{2} - \rho )b^{4} - ( \rho_{1} - \rho ) a^{4}}{ ( \rho_{1} - \rho )a^{3} + ( \rho_{2} - \rho ) b^{3} }$.
Результат имеет смысл, когда $x < L$. Допустим, для определённости, что вещество первого куба плотнее жидкости, $\rho_{1} > \rho$. Тогда должно быть выполнено: $\rho_{2} > \rho + ( \rho_{1} - \rho )( a^{4}/ b^{4})$. В обратном случае следует обратить знаки.
Ответ. Решение задачи существует, когда либо $P_{1} > \rho ga^{3}$ и $P_{2}/gb^{3} > \rho + ( P_{1} / ga^{3} - \rho )( a^{4}/ b^{4})$, либо $P_{1} < \rho ga^{3}$ и $P_{2}/gb^{3} < \rho + (P_{1}/ga^{3} - \rho)( a^{4}/ b^{4})$. В этих случаях система находится в равновесии, если её опора расположена в точке
$x = L \frac{Q_{1}}{Q_{1} + Q_{2}} + \frac{1}{2} \frac{aQ_{1} - bQ_{2}}{Q_{1} + Q_{2}}$, где $Q_{1} = \frac{P_{1}}{g \rho} - a^{3}, Q_{2} = \frac{P_{2}}{g \rho} - b^{3}$.
