Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5136
2017-11-19 
Цилиндр имеет радиус 1 см, площадь сечения 3,14 $см^{2}$ и длину 6,6 см. На половине длины цилиндра впаяли вертикальную тонкую трубку. Правая часть сосуда сообщается с атмосферой (см. рис.). К правой стенке цилиндра с помощью лёгкой пружины жёсткостью 6 Н/м прикрепили массивный тонкий поршень. Длина нерастянутой пружины равна 3 см. Систему установили на упор, находящийся по центру цилиндра. Затем в цилиндр, придерживая его рукой, начали наливать воду. В тот момент, когда масса воды стала равна массе поршня, система оказалась в равновесии. Поршень плотно, но без трения прилегает к стенкам цилиндра. На какой высоте находится вода в трубке?
Решение:
Сначала найдём, какую часть цилиндра занимает вода. Это проще всего сделать, используя правило рычага. Сила тяжести воды приложена к точке A (см. рисунок), а сила тяжести поршня к точке B. Центр отрезка OC находится в точке P. По правилу рычага, $|AP| mg = |PB| mg$,т. е. $| AP | = | PB |$, где $m$ - масса воды (и, соответственно, поршня). Но $|OA| = |OB| S$, а также $|AP| = |OP| - |OA| = |OC|/2 - |OB|/2$ и $|PB| = |OB| - |OP| = |OB| - |OC|/2$. Следовательно, правило рычага можно переписать в виде, $|OC|/2 - |OB|/2 = |OB| - |OC|/2$. Таким образом, $|OB| = 2/3 \cdot |OC| = 2/3 \cdot 6,6 см = 4$, Значит, пружина имеет длину $l = 6,6 см - 4,4 см = 2,2 см$. По закону Гука сила упругости пружины составляет
$F = k(l - l_{0}) = 6 Н/м(2,2 см - 3 см) = - 0,048 Н$,
где $l_{0} = 3 см$ — изначальная длина пружины. Знак «-»у $F$ означает, что пружина сжата, а не растянута. В дальнейшем будем писать $|F|$. Давление со стороны поршня на воду, составляет $p = |F| / S = 0,048 Н/3,14 см^{2} = 153 Па$. Давление со стороны жидкости на поршень производится со стороны столба воды искомой высоты $h$. Сосчитать его можно так. Давление водяного столба на уровне верхней точки поршня равно $p_{1} = \rho gh$, на уровне нижней точки $p_{2} = \rho g(h + 2r)$, где $\rho$ - плотность воды, $r$ - радиус цилиндра. Так как давление возрастает линейно с высотой ($p = \rho gx$), то давление, оказываемое водой, на поршень равно $p = (p_{1} + p_[2)/2$, т. е. среднему давлению в верхней и нижней точках. Условие равновесия запишется тогда в виде $\rho gh/2 + ( \rho gh + 2 \rho gr) /2 = \rho g(h + r) = 153 Па$. Решая это уравнение, находим $h = 0,53 см$.
Ответ. Вода в трубке находится на высоте 0,53 см.
Цилиндр имеет радиус 1 см, площадь сечения 3,14 $см^{2}$ и длину 6,6 см. На половине длины цилиндра впаяли вертикальную тонкую трубку. Правая часть сосуда сообщается с атмосферой (см. рис.). К правой стенке цилиндра с помощью лёгкой пружины жёсткостью 6 Н/м прикрепили массивный тонкий поршень. Длина нерастянутой пружины равна 3 см. Систему установили на упор, находящийся по центру цилиндра. Затем в цилиндр, придерживая его рукой, начали наливать воду. В тот момент, когда масса воды стала равна массе поршня, система оказалась в равновесии. Поршень плотно, но без трения прилегает к стенкам цилиндра. На какой высоте находится вода в трубке?
Решение:
Сначала найдём, какую часть цилиндра занимает вода. Это проще всего сделать, используя правило рычага. Сила тяжести воды приложена к точке A (см. рисунок), а сила тяжести поршня к точке B. Центр отрезка OC находится в точке P. По правилу рычага, $|AP| mg = |PB| mg$,т. е. $| AP | = | PB |$, где $m$ - масса воды (и, соответственно, поршня). Но $|OA| = |OB| S$, а также $|AP| = |OP| - |OA| = |OC|/2 - |OB|/2$ и $|PB| = |OB| - |OP| = |OB| - |OC|/2$. Следовательно, правило рычага можно переписать в виде, $|OC|/2 - |OB|/2 = |OB| - |OC|/2$. Таким образом, $|OB| = 2/3 \cdot |OC| = 2/3 \cdot 6,6 см = 4$, Значит, пружина имеет длину $l = 6,6 см - 4,4 см = 2,2 см$. По закону Гука сила упругости пружины составляет
$F = k(l - l_{0}) = 6 Н/м(2,2 см - 3 см) = - 0,048 Н$,
где $l_{0} = 3 см$ — изначальная длина пружины. Знак «-»у $F$ означает, что пружина сжата, а не растянута. В дальнейшем будем писать $|F|$. Давление со стороны поршня на воду, составляет $p = |F| / S = 0,048 Н/3,14 см^{2} = 153 Па$. Давление со стороны жидкости на поршень производится со стороны столба воды искомой высоты $h$. Сосчитать его можно так. Давление водяного столба на уровне верхней точки поршня равно $p_{1} = \rho gh$, на уровне нижней точки $p_{2} = \rho g(h + 2r)$, где $\rho$ - плотность воды, $r$ - радиус цилиндра. Так как давление возрастает линейно с высотой ($p = \rho gx$), то давление, оказываемое водой, на поршень равно $p = (p_{1} + p_[2)/2$, т. е. среднему давлению в верхней и нижней точках. Условие равновесия запишется тогда в виде $\rho gh/2 + ( \rho gh + 2 \rho gr) /2 = \rho g(h + r) = 153 Па$. Решая это уравнение, находим $h = 0,53 см$.
Ответ. Вода в трубке находится на высоте 0,53 см.
