Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5075
2017-11-12 
По кольцевому проводнику (рис.) течет индукционный ток $I$. Предполагается, что сопротивление меньшей части кольца между точками А и В известно и равно $r$, сопротивление большей его части между теми же точками равно $R$ и падение напряжения на меньшей части проводника в направлении от А к В по указанной на чертеже стрелке (направлению тока) в рассматриваемый момент времени равно $U$.
Ясно, что при этих условиях ток в этот момент по закону Ома должен быть равен:
$I = \frac{I}{r}$.
Поскольку, однако, ток во всех сечениях проводника всюду должен быть одинаковым, а падение напряжения между теми же точками по длинному пути от В к А должно быть опять равно $U$, но с обратным знаком, то по тому же закону Ома тот же самый ток должен быть равен:
$I = \frac{U}{R}$.
Отсюда получаем нелепый результат:
$r = - R$.
Требуется найти ошибку либо в постановке вопроса, либо в рассуждении.
Решение:
Особенность индукционного тока, возникающего в кольце при изменении пронизывающего его магнитного потока, состоит в том, что э. д. с. В распределена равномерно по всему контуру.
Пусть $E_{0}$ — э. д. с., индуцируемая на единице длины контура, а $r_{0}$ — сопротивление единицы длины контура. Предположим, что $r = nr_{0}$, a $R = mr_{0}$, тогда соответственно э. д. с. на дуге ВА будет $E_{BA} = nE_{0}$ и э. д. с. на дуге АСВ — $E_{ACB} = mE_{0}$.
Согласно закону Ома ток в контуре
$I = \frac{E}{R + r} = \frac{(n + m)E_{0}}{(n + m)r_{0}} = \frac{E_{0}}{r_{0}}$.
А напряжение на коротком участке кольца
$U_{BA} = E_{BA} - Ir = E_{BA} - \frac{E_{0}}{r_{0}} nr_{0} = 0$.
Соответственно напряжение на длинном участке
$U_{ACB} = E_{ACB} - IR = E_{ACB} - \frac{E_{0}}{r_{0}} mr_{0} = 0$.
Таким образом, напряжения между точками А и В не существует, хотя в цепи и идет ток. Это не противоречит закону Ома, так как кольцо «работает» в режиме короткого замыкания. Э. д. с. создает падение напряжения, которое приходится целиком на внутреннюю часть цепи.
Нелепый результат ($r = - R$) получился потому, что в самой постановке вопроса сделано неправильное допущение, будто между точками А и В существует не равное нулю напряжение. В формуле $I = \frac{U}{R}$ величина $U$ является не напряжением, а той долей распределенной по всему контуру э. д. с. $E$, которая приходится на его короткий участок, имеющий сопротивление $r$ (который нами обозначен $E_{BA} = nE_{0}$) .
По кольцевому проводнику (рис.) течет индукционный ток $I$. Предполагается, что сопротивление меньшей части кольца между точками А и В известно и равно $r$, сопротивление большей его части между теми же точками равно $R$ и падение напряжения на меньшей части проводника в направлении от А к В по указанной на чертеже стрелке (направлению тока) в рассматриваемый момент времени равно $U$.
Ясно, что при этих условиях ток в этот момент по закону Ома должен быть равен:
$I = \frac{I}{r}$.
Поскольку, однако, ток во всех сечениях проводника всюду должен быть одинаковым, а падение напряжения между теми же точками по длинному пути от В к А должно быть опять равно $U$, но с обратным знаком, то по тому же закону Ома тот же самый ток должен быть равен:
$I = \frac{U}{R}$.
Отсюда получаем нелепый результат:
$r = - R$.
Требуется найти ошибку либо в постановке вопроса, либо в рассуждении.
Решение:
Особенность индукционного тока, возникающего в кольце при изменении пронизывающего его магнитного потока, состоит в том, что э. д. с. В распределена равномерно по всему контуру.
Пусть $E_{0}$ — э. д. с., индуцируемая на единице длины контура, а $r_{0}$ — сопротивление единицы длины контура. Предположим, что $r = nr_{0}$, a $R = mr_{0}$, тогда соответственно э. д. с. на дуге ВА будет $E_{BA} = nE_{0}$ и э. д. с. на дуге АСВ — $E_{ACB} = mE_{0}$.
Согласно закону Ома ток в контуре
$I = \frac{E}{R + r} = \frac{(n + m)E_{0}}{(n + m)r_{0}} = \frac{E_{0}}{r_{0}}$.
А напряжение на коротком участке кольца
$U_{BA} = E_{BA} - Ir = E_{BA} - \frac{E_{0}}{r_{0}} nr_{0} = 0$.
Соответственно напряжение на длинном участке
$U_{ACB} = E_{ACB} - IR = E_{ACB} - \frac{E_{0}}{r_{0}} mr_{0} = 0$.
Таким образом, напряжения между точками А и В не существует, хотя в цепи и идет ток. Это не противоречит закону Ома, так как кольцо «работает» в режиме короткого замыкания. Э. д. с. создает падение напряжения, которое приходится целиком на внутреннюю часть цепи.
Нелепый результат ($r = - R$) получился потому, что в самой постановке вопроса сделано неправильное допущение, будто между точками А и В существует не равное нулю напряжение. В формуле $I = \frac{U}{R}$ величина $U$ является не напряжением, а той долей распределенной по всему контуру э. д. с. $E$, которая приходится на его короткий участок, имеющий сопротивление $r$ (который нами обозначен $E_{BA} = nE_{0}$) .
