Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 503
2014-06-01 
На пустую катушку магнитофона, вращающуюся с постоянной угловой скоростью, перематывается магнитная лента. После перемотки конечный радиус $r_{к}$ намотки оказался в три раза больше начального радиуса $r_{н}$(рис.). Время перемотки ленты равно $t_{1}$.
За какое время $t_{2}$ на такую же катушку перемотается лента вдвое более тонкая?
Решение:
После перемотки толстой ленты она будет занимать часть катушки площадью $S_{1} = \pi (r^{2}_{к}-r^{2}_{н}) = 8 \pi r^{2}_{н}$. Тогда длина намотанной ленты будет $l = S_{1} / d = 8 \pi (r^{2}_{н}/d)$, где $d$ - толщина толстой ленты.
После перемотки тонкой ленты она будет занимать часть катушки площадью $S_{2} = \pi (r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н})$, где $r_{к}^{\prime}$ - конечный радиус намотки во втором случае. Так как длины лент одинаковы, а толщина ленты во втором случае вдвое меньше, чем в первом, можно написать
$l=2 \pi (r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н})/d, r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н} = 4 r^{2}_{н}$.
Следовательно, конечный радиус $r^{\prime}_{к}$ намотки во втором случае равен
$r^{\prime}_{к}= \sqrt{5} r_{н}$.
Число оборотов $N_{2}$ и $N_{2}$ катушки, сделанных при перемотке в первом и втором случаях, можно записать в виде
$N_{1}= \frac{2r_{н}}{d}, N_{2}=\frac{(\sqrt{5} - 1)r_{н}}{d/2}$,
откуда $t_{2}=(\sqrt{5} - 1)t_{1}$.
На пустую катушку магнитофона, вращающуюся с постоянной угловой скоростью, перематывается магнитная лента. После перемотки конечный радиус $r_{к}$ намотки оказался в три раза больше начального радиуса $r_{н}$(рис.). Время перемотки ленты равно $t_{1}$.
За какое время $t_{2}$ на такую же катушку перемотается лента вдвое более тонкая?
Решение:
После перемотки толстой ленты она будет занимать часть катушки площадью $S_{1} = \pi (r^{2}_{к}-r^{2}_{н}) = 8 \pi r^{2}_{н}$. Тогда длина намотанной ленты будет $l = S_{1} / d = 8 \pi (r^{2}_{н}/d)$, где $d$ - толщина толстой ленты.
После перемотки тонкой ленты она будет занимать часть катушки площадью $S_{2} = \pi (r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н})$, где $r_{к}^{\prime}$ - конечный радиус намотки во втором случае. Так как длины лент одинаковы, а толщина ленты во втором случае вдвое меньше, чем в первом, можно написать
$l=2 \pi (r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н})/d, r^{\prime 2}_{к}-r^{2}_{н} = 4 r^{2}_{н}$.
Следовательно, конечный радиус $r^{\prime}_{к}$ намотки во втором случае равен
$r^{\prime}_{к}= \sqrt{5} r_{н}$.
Число оборотов $N_{2}$ и $N_{2}$ катушки, сделанных при перемотке в первом и втором случаях, можно записать в виде
$N_{1}= \frac{2r_{н}}{d}, N_{2}=\frac{(\sqrt{5} - 1)r_{н}}{d/2}$,
откуда $t_{2}=(\sqrt{5} - 1)t_{1}$.
