Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 500
2014-06-01 
Самолет, летящий горизонтально со скоростью $v_{0}$, начинает подниматься вверх, описывая окружность, лежащую в вертикальной плоскости. Скорость самолета при этом меняется с высотой $h$ над первоначальным уровнем движения по закону $v^{2} = v^{2}_{0} – 2a_{0}h$. В верхней точке траектории его скорость оказывается равной $v_{1}=v_{0}/2$.
Определите ускорение $a$ самолета в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх.
Решение:
Рассмотрим движение самолета, начиная с момента его перехода на круговую траекторию (рис.). По условию задачи в верхней точке траектории В скорость самолета равна $v_{1}=v_{0}/2$, поэтому радиус $r$ описываемой самолетом окружности найдем из соотношения
$\frac{v^{2}_{0}}{4} = v^{2}_{0} – 2 a_{0} \cdot 2r$,
которое получается из закона движения самолета при $h=2r$. Для точки траектории С, где скорость самолета направлена вверх, общее ускорение будет складываться из центростремительного ускорения $a_{ц} = \frac{v^{2}_{C}}{r}$ ($v^{2}_{C}=v^{2}_{0} - 2 a_{0}r$, где $v_{C}$ - скорость самолета в точке С) и тангенциального ускорения $a_{\tau}$ (это ускорение отвечает за изменение модуля скорости).
Чтобы найти тангенциальное ускорение, рассмотрим небольшое перемещение самолета из точки $C$ в точку $C^{\prime}$. Тогда $v^{2}_{C^{\prime}}= v^{2}_{0} – 2a_{0} (r+ \Delta h)$. Поэтому $ v^{2}_{C^{\prime}} - v^{2}_{C} = - 2 a_{0} \Delta h$, где $\Delta h$ - изменение высоты самолета при перемещении его в точку $C^{\prime}$. Разделим обе части полученного соотношения на тот промежуток времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло:
$( v^{2}_{C^{\prime}}- v^{2}_{C}) / \Delta t = - 2 a_{0} \Delta h / \Delta t$.
Тогда, устремив точку $C^{\prime} \rightarrow C$ и $ \Delta t \rightarrow 0$, получим
$2v_{C}a_{tau} = - 2 a_{0}v_{C}$.
Отсюда $a_{\tau} = - a_{0}$. Общее ускорение самолета в момент, когда его скорость направлена вертикально вверх, получим в виде
$a = \sqrt{a^{2}_{0} + (v^{2}_{C}/r)^{2}} = a_{0} \sqrt{109}/3$.
Самолет, летящий горизонтально со скоростью $v_{0}$, начинает подниматься вверх, описывая окружность, лежащую в вертикальной плоскости. Скорость самолета при этом меняется с высотой $h$ над первоначальным уровнем движения по закону $v^{2} = v^{2}_{0} – 2a_{0}h$. В верхней точке траектории его скорость оказывается равной $v_{1}=v_{0}/2$.
Определите ускорение $a$ самолета в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх.
Решение:
Рассмотрим движение самолета, начиная с момента его перехода на круговую траекторию (рис.). По условию задачи в верхней точке траектории В скорость самолета равна $v_{1}=v_{0}/2$, поэтому радиус $r$ описываемой самолетом окружности найдем из соотношения
$\frac{v^{2}_{0}}{4} = v^{2}_{0} – 2 a_{0} \cdot 2r$,
которое получается из закона движения самолета при $h=2r$. Для точки траектории С, где скорость самолета направлена вверх, общее ускорение будет складываться из центростремительного ускорения $a_{ц} = \frac{v^{2}_{C}}{r}$ ($v^{2}_{C}=v^{2}_{0} - 2 a_{0}r$, где $v_{C}$ - скорость самолета в точке С) и тангенциального ускорения $a_{\tau}$ (это ускорение отвечает за изменение модуля скорости).
Чтобы найти тангенциальное ускорение, рассмотрим небольшое перемещение самолета из точки $C$ в точку $C^{\prime}$. Тогда $v^{2}_{C^{\prime}}= v^{2}_{0} – 2a_{0} (r+ \Delta h)$. Поэтому $ v^{2}_{C^{\prime}} - v^{2}_{C} = - 2 a_{0} \Delta h$, где $\Delta h$ - изменение высоты самолета при перемещении его в точку $C^{\prime}$. Разделим обе части полученного соотношения на тот промежуток времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло:
$( v^{2}_{C^{\prime}}- v^{2}_{C}) / \Delta t = - 2 a_{0} \Delta h / \Delta t$.
Тогда, устремив точку $C^{\prime} \rightarrow C$ и $ \Delta t \rightarrow 0$, получим
$2v_{C}a_{tau} = - 2 a_{0}v_{C}$.
Отсюда $a_{\tau} = - a_{0}$. Общее ускорение самолета в момент, когда его скорость направлена вертикально вверх, получим в виде
$a = \sqrt{a^{2}_{0} + (v^{2}_{C}/r)^{2}} = a_{0} \sqrt{109}/3$.
