Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4986
2017-11-12 
Два цилиндра A и В во всем сходны, кроме высоты (следовательно, имеют различные массы). Если их поместить на одинаковую высоту на наклонную плоскость (рис.), то они скатываются к основанию за одно и то же время.
Но ведь моменты инерции у цилиндров разные. Значит, должны быть разными и угловые скорости и время скатывания. Как объяснить этот парадокс?
Решение:
Любой из цилиндров можно считать состоящим из большого числа очень тонких дисков. Каждый из дисков будет скатываться с наклонной плоскости за время, определяемое моментом его силы тяжести относительно точки опоры и моментом его инерции. Если такие диски поставить рядом на одну и ту же высоту наклонной плоскости и отпустить одновременно, то они достигнут основания ее одновременно. Очевидно, ничто не изменится, если диски прижать вплотную друг к другу, образовав тело А и тело В. И в этом случае, хотя число дисков у тел А и В будет разное, время скатывания будет одинаковым.
Неизменность времени скатывания можно доказать аналитически. Основное уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: $M = I \epsilon$, где $M$ — момент силы, $I$ — момент инерции, $\epsilon$ — угловое ускорение.
Момент силы тяжести $P$, действующий на цилиндр, равен $M = Pl$, где $l$ — плечо силы тяжести.
Момент инерции цилиндра равен $I = \frac{1}{2} mr^{2}$, где $m$ — масса цилиндра, а $r$ — радиус его.
Тогда угловое ускорение $\epsilon = \frac{M}{I} = \frac{Pl}{ \frac{1}{2} mr^{2}} = \frac{2lg}{r_{2}}$ есть величина постоянная, не зависящая от высоты цилиндра.
Следовательно, время скатывания для обоих цилиндров также будет не зависеть от их высоты, т. е. будет одинаковым.
Два цилиндра A и В во всем сходны, кроме высоты (следовательно, имеют различные массы). Если их поместить на одинаковую высоту на наклонную плоскость (рис.), то они скатываются к основанию за одно и то же время.
Но ведь моменты инерции у цилиндров разные. Значит, должны быть разными и угловые скорости и время скатывания. Как объяснить этот парадокс?
Решение:
Любой из цилиндров можно считать состоящим из большого числа очень тонких дисков. Каждый из дисков будет скатываться с наклонной плоскости за время, определяемое моментом его силы тяжести относительно точки опоры и моментом его инерции. Если такие диски поставить рядом на одну и ту же высоту наклонной плоскости и отпустить одновременно, то они достигнут основания ее одновременно. Очевидно, ничто не изменится, если диски прижать вплотную друг к другу, образовав тело А и тело В. И в этом случае, хотя число дисков у тел А и В будет разное, время скатывания будет одинаковым.
Неизменность времени скатывания можно доказать аналитически. Основное уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: $M = I \epsilon$, где $M$ — момент силы, $I$ — момент инерции, $\epsilon$ — угловое ускорение.
Момент силы тяжести $P$, действующий на цилиндр, равен $M = Pl$, где $l$ — плечо силы тяжести.
Момент инерции цилиндра равен $I = \frac{1}{2} mr^{2}$, где $m$ — масса цилиндра, а $r$ — радиус его.
Тогда угловое ускорение $\epsilon = \frac{M}{I} = \frac{Pl}{ \frac{1}{2} mr^{2}} = \frac{2lg}{r_{2}}$ есть величина постоянная, не зависящая от высоты цилиндра.
Следовательно, время скатывания для обоих цилиндров также будет не зависеть от их высоты, т. е. будет одинаковым.
