Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 496
2014-06-01 
Артиллерийское орудие стреляет из-под укрытия, наклоненного под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Орудие находится в точке А на расстоянии $l$ от основания укрытия (точка В). Начальная скорость снаряда равна $v_{0}$, траектория снаряда лежит в плоскости рисунка.
Определите максимальную дальность полета снаряда $L_{max}$.
Решение:
Из всех возможных траекторий снаряда выберем ту, которая касается укрытия. Рассмотрим движение снаряда в системе координат, оси которой направлены так, как показано на рис.. В этой системе «горизонтальная» (вдоль оси Ax) составляющая начальной скорости снаряда равна $v_{0x}=v_{0} \cos (\phi - \alpha)$, а «вертикальная» (вдоль оси Ау) составляющая равна $v_{0y} = v_{0} \sin(\phi - \alpha)$, где $\phi$ - угол, который составляет с горизонтом направление начальной скорости снаряда.
Точка С, в которой траектория снаряда касается укрытия, определяет максимальную высоту $h^{\prime}$ поднятия снаряда пал «горизонтом», равную, как видно из рис., $l \sin \alpha$. В этой точке составляющая полной скорости $v$ снаряда на ось Ау равна нулю и
$h^{\prime} = \frac{v^{2}_{oy}}{2g^{\prime}}$,
где $g^{\prime} = g \cos \alpha$ - «ускорение свободного падения» в системе координат хАу. Таким образом,
$v^{2}_{0} \sin^{2} (\phi - \alpha) = 2gl \cos \alpha \sin \alpha$.
Отсюда, в частности, вытекает, что если по условию задачи
$v^{2}_{0} < 2gl \cos \alpha \sin \alpha = gl \sin 2 \alpha$,
то ни одна из траекторий снаряда не коснется укрытия и максимальная дальность полета $L_{max}$, будет у снаряда, пущенного под углом $\phi = \pi / 4$ к горизонту; при этом $L_{max} = v^{2}_{0}/g$.
Если по условию задачи выполняется соотношение
$v^{2}_{0} \geq gl \sin 2 \alpha$
то для того, чтобы траектория касалась укрытия, снаряд должен быть пущен под углом
$\phi = \phi_{кас} = \alpha + arcsin \sqrt{gl \sin 2 \alpha} /v_{0}$.
Если при этом по условию задачи выполняется неравенство
$\frac{v^{2}_{0}}{v^{2}_{0} + 2gl} \leq \sin 2 \alpha$,
что в свою очередь означает выполнение условия $\phi_{кас} \geq pi/4$ (покажите!), то угол вылета снаряда с максимальной дальностью полета равен $\phi = \pi/4$ и $L_{max} = \frac{v^{2}_{0}}{g}$. Если же по условию задачи выполняется обратное неравенство
$\frac{v^{2}_{0}}{v^{2}_{0} + 2gl} > \sin 2 \alpha$,
что в свою очередь означает выполнение условия $\phi_{кас} < \pi / 4$, то
$\phi = \phi_{кас}= \alpha + arcsin \frac{\sqrt{gl \sin 2 \alpha}}{v_{0}}$,
$L_{max} = \frac{v^{2}_{0}}{g} \sin 2 \phi = \frac{v^{2}_{0}}{g} \sin 2 \left ( \alpha + arcsin \frac{\sqrt{gl \sin 2 \alpha}}{v_{0}} \right )$.
Артиллерийское орудие стреляет из-под укрытия, наклоненного под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Орудие находится в точке А на расстоянии $l$ от основания укрытия (точка В). Начальная скорость снаряда равна $v_{0}$, траектория снаряда лежит в плоскости рисунка.
Определите максимальную дальность полета снаряда $L_{max}$.
Решение:
Из всех возможных траекторий снаряда выберем ту, которая касается укрытия. Рассмотрим движение снаряда в системе координат, оси которой направлены так, как показано на рис.. В этой системе «горизонтальная» (вдоль оси Ax) составляющая начальной скорости снаряда равна $v_{0x}=v_{0} \cos (\phi - \alpha)$, а «вертикальная» (вдоль оси Ау) составляющая равна $v_{0y} = v_{0} \sin(\phi - \alpha)$, где $\phi$ - угол, который составляет с горизонтом направление начальной скорости снаряда.
Точка С, в которой траектория снаряда касается укрытия, определяет максимальную высоту $h^{\prime}$ поднятия снаряда пал «горизонтом», равную, как видно из рис., $l \sin \alpha$. В этой точке составляющая полной скорости $v$ снаряда на ось Ау равна нулю и
$h^{\prime} = \frac{v^{2}_{oy}}{2g^{\prime}}$,
где $g^{\prime} = g \cos \alpha$ - «ускорение свободного падения» в системе координат хАу. Таким образом,
$v^{2}_{0} \sin^{2} (\phi - \alpha) = 2gl \cos \alpha \sin \alpha$.
Отсюда, в частности, вытекает, что если по условию задачи
$v^{2}_{0} < 2gl \cos \alpha \sin \alpha = gl \sin 2 \alpha$,
то ни одна из траекторий снаряда не коснется укрытия и максимальная дальность полета $L_{max}$, будет у снаряда, пущенного под углом $\phi = \pi / 4$ к горизонту; при этом $L_{max} = v^{2}_{0}/g$.
Если по условию задачи выполняется соотношение
$v^{2}_{0} \geq gl \sin 2 \alpha$
то для того, чтобы траектория касалась укрытия, снаряд должен быть пущен под углом
$\phi = \phi_{кас} = \alpha + arcsin \sqrt{gl \sin 2 \alpha} /v_{0}$.
Если при этом по условию задачи выполняется неравенство
$\frac{v^{2}_{0}}{v^{2}_{0} + 2gl} \leq \sin 2 \alpha$,
что в свою очередь означает выполнение условия $\phi_{кас} \geq pi/4$ (покажите!), то угол вылета снаряда с максимальной дальностью полета равен $\phi = \pi/4$ и $L_{max} = \frac{v^{2}_{0}}{g}$. Если же по условию задачи выполняется обратное неравенство
$\frac{v^{2}_{0}}{v^{2}_{0} + 2gl} > \sin 2 \alpha$,
что в свою очередь означает выполнение условия $\phi_{кас} < \pi / 4$, то
$\phi = \phi_{кас}= \alpha + arcsin \frac{\sqrt{gl \sin 2 \alpha}}{v_{0}}$,
$L_{max} = \frac{v^{2}_{0}}{g} \sin 2 \phi = \frac{v^{2}_{0}}{g} \sin 2 \left ( \alpha + arcsin \frac{\sqrt{gl \sin 2 \alpha}}{v_{0}} \right )$.
