Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 495
2014-06-01 
Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной поверхности и попадает в точке А в вертикальный цилиндрический колодец глубины $H$ и радиуса $r$. Скорость шарика $v$ составляем угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку А (рис. вид сверху).
При каком соотношении между $v,H,r$ и $\alpha$ шарик после упругих соударений со стенками и дном сможет «выбраться» из колодца? Потерями на трение пренебречь.
Решение:
Рис. 1
На рис. 1 приведен вид сверху на траекторию движения шарика. Поскольку соударения шарика со стенкой и дном колодца упругие, модуль горизонтальной составляющей скорости шарика остается неизменным и равным $v$. Расстояния по горизонтали между точками, в которых происходят два последовательных соударения, равны $AA_{1} = A_{1}A_{2}= A_{2}A_{3}= \cdots = 2r \cos \alpha$. Время между двумя последовательными соударениями шарика со стенкой колодца равно $t_{1} = 2r \cos \alpha /v$.
Вертикальная составляющая скорости шарика при соударении со стенкой не изменяется, а при соударении с дном меняет знак на противоположный. Модуль вертикальной составляющей скорости при первом ударе о дно равен $\sqrt{2gH}$, время движения от верха колодца до дна равно $t_{2} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
Рис. 2
На рис 2 представлена плоская вертикальная развертка многогранника $A_{1}A_{2}A_{3} \cdots$; участки траектории движения шарика внутри колодца на такой развертке - параболы (целые параболы – участки траектории между последовательными ударами о дно). Шарик сможет «выбраться» из колодца, если момент максимального подъема по параболе совпадает с моментом соударения со стенкой (т. е. в момент максимального подъема шарик окажется в точке $A_{n}$ края колодца). При этом времена $t_{1}$ и $t_{2}$ будут связаны соотношением
$nt_{1} = 2kt_{2}$,
где $n$ и $k$ - целые взаимно простые числа. Подставляя значения $t_{1}$ и $t_{2}$, находим соотношение между $v,H,r$ и $\alpha$, при котором шарик может «выбраться» из колодца:
$nr \cos \alpha / v = k \sqrt{2H/g}$.
Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной поверхности и попадает в точке А в вертикальный цилиндрический колодец глубины $H$ и радиуса $r$. Скорость шарика $v$ составляем угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку А (рис. вид сверху).
При каком соотношении между $v,H,r$ и $\alpha$ шарик после упругих соударений со стенками и дном сможет «выбраться» из колодца? Потерями на трение пренебречь.
Решение:
Рис. 1
На рис. 1 приведен вид сверху на траекторию движения шарика. Поскольку соударения шарика со стенкой и дном колодца упругие, модуль горизонтальной составляющей скорости шарика остается неизменным и равным $v$. Расстояния по горизонтали между точками, в которых происходят два последовательных соударения, равны $AA_{1} = A_{1}A_{2}= A_{2}A_{3}= \cdots = 2r \cos \alpha$. Время между двумя последовательными соударениями шарика со стенкой колодца равно $t_{1} = 2r \cos \alpha /v$.
Вертикальная составляющая скорости шарика при соударении со стенкой не изменяется, а при соударении с дном меняет знак на противоположный. Модуль вертикальной составляющей скорости при первом ударе о дно равен $\sqrt{2gH}$, время движения от верха колодца до дна равно $t_{2} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
Рис. 2
На рис 2 представлена плоская вертикальная развертка многогранника $A_{1}A_{2}A_{3} \cdots$; участки траектории движения шарика внутри колодца на такой развертке - параболы (целые параболы – участки траектории между последовательными ударами о дно). Шарик сможет «выбраться» из колодца, если момент максимального подъема по параболе совпадает с моментом соударения со стенкой (т. е. в момент максимального подъема шарик окажется в точке $A_{n}$ края колодца). При этом времена $t_{1}$ и $t_{2}$ будут связаны соотношением
$nt_{1} = 2kt_{2}$,
где $n$ и $k$ - целые взаимно простые числа. Подставляя значения $t_{1}$ и $t_{2}$, находим соотношение между $v,H,r$ и $\alpha$, при котором шарик может «выбраться» из колодца:
$nr \cos \alpha / v = k \sqrt{2H/g}$.
