Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 493
2014-06-01 
На вогнутую сферическую поверхность радиуса $R$ с высоты $H = R/8$ вблизи вертикальной оси симметрии падают с нулевой начальной скоростью маленькие шарики.
Считая удары шариков о поверхность абсолютно упругими, покажите, что после 1-го соударения каждый шарик попадает в низшую точку сферической поверхности. Считать, что шарики между собой не соударяются.
Решение:
Рассмотрим движение одного шарика, свободно падающего вблизи оси симметрии с высоты $Н$, начиная с момента его соударения с поверхностью. В момент удара шарик имеет начальную скорость $v_{0}=\sqrt{2gH}$ (поскольку удар абсолютно упругий), направление скорости $v_{0}$ составляет угол $2 \alpha$ с вертикалью (рис.).
Пусть спустя время $t$ после соударения с поверхностью смещение шарика по горизонтали равно $s$, тогда $v_{0} \sin 2 \alpha \cdot t = s$. Отсюда получаем $t = s / (\sqrt{2gH} \sin 2 \alpha)$, где $v_{0} \sin 2 \alpha $ - горизонтальная составляющая начальной скорости шарика (за время $t$ шарик больше не ударяется о поверхность). Высота, на которой будет находиться шарик спустя время $t$, равна
$\Delta h =h_{0} + v_{0} \cos 2 \alpha \cdot t – gt^{2}/2$,
где $v_{0} \cos 2 \alpha$ - вертикальная составляющая начальной скорости шарика.
Поскольку шарик начал падать с высоты $H$ вблизи оси симметрии (угол $\alpha$ мал), можно считать, что $h_{0} \approx 0, \sin 2 \alpha \approx 2 \alpha, \cos 2 \alpha \approx 1, s \approx R \alpha$.
Учитывая эти и полученные выше соотношения, найдем условия попадания шарика в низшую точку сферической поверхности:
$t = \frac{s}{\sqrt{2gH} \sin 2 \alpha} = \frac{R}{2 \sqrt{2gH}}$,
$\Delta h \approx v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} = \frac{R}{2} - \frac{R^{2}}{16H}=0$.
Отсюда получаем, что $H = R/8$.
На вогнутую сферическую поверхность радиуса $R$ с высоты $H = R/8$ вблизи вертикальной оси симметрии падают с нулевой начальной скоростью маленькие шарики.
Считая удары шариков о поверхность абсолютно упругими, покажите, что после 1-го соударения каждый шарик попадает в низшую точку сферической поверхности. Считать, что шарики между собой не соударяются.
Решение:
Рассмотрим движение одного шарика, свободно падающего вблизи оси симметрии с высоты $Н$, начиная с момента его соударения с поверхностью. В момент удара шарик имеет начальную скорость $v_{0}=\sqrt{2gH}$ (поскольку удар абсолютно упругий), направление скорости $v_{0}$ составляет угол $2 \alpha$ с вертикалью (рис.).
Пусть спустя время $t$ после соударения с поверхностью смещение шарика по горизонтали равно $s$, тогда $v_{0} \sin 2 \alpha \cdot t = s$. Отсюда получаем $t = s / (\sqrt{2gH} \sin 2 \alpha)$, где $v_{0} \sin 2 \alpha $ - горизонтальная составляющая начальной скорости шарика (за время $t$ шарик больше не ударяется о поверхность). Высота, на которой будет находиться шарик спустя время $t$, равна
$\Delta h =h_{0} + v_{0} \cos 2 \alpha \cdot t – gt^{2}/2$,
где $v_{0} \cos 2 \alpha$ - вертикальная составляющая начальной скорости шарика.
Поскольку шарик начал падать с высоты $H$ вблизи оси симметрии (угол $\alpha$ мал), можно считать, что $h_{0} \approx 0, \sin 2 \alpha \approx 2 \alpha, \cos 2 \alpha \approx 1, s \approx R \alpha$.
Учитывая эти и полученные выше соотношения, найдем условия попадания шарика в низшую точку сферической поверхности:
$t = \frac{s}{\sqrt{2gH} \sin 2 \alpha} = \frac{R}{2 \sqrt{2gH}}$,
$\Delta h \approx v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} = \frac{R}{2} - \frac{R^{2}}{16H}=0$.
Отсюда получаем, что $H = R/8$.
