Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 492
2014-06-01 
На упругую плиту свободно падают два стальных шарика: 1-й с высоты $h_{1} =44 см$. 2-й с высоты $h_{2} = 11 см$ спустя $\tau$ секунд после 1-го. Через некоторое время $\tau$ скорости шариков совпадают по модулю и направлению.
Определите время $\tau$ и интервал времени, в течение которого скорости обоих шариков будут равными. Считать, что шарики между собой не соударяются.
Решение:
Поскольку движение шариков происходит по вертикальной прямой, направим координатную ось вертикально вверх. Построим график зависимости проекции скорости шариков от времени на эту ось - рис.1 для 1-го шарика $(v_{1}(t))$, рис. 2 для 2-го $(v_{2}(t))$ (моменты начала движения пока никак не связаны между собой). Эти графики
Рис. 1
Рис. 2
будут представлять бесконечный набор одинаково наклоненных (ускорение одинаковое) участков прямых. По оси времени эти отрезки отстоят друг от друга: для 1-го шарика на величину $t_{1}=2 \sqrt{2h_{1}/g}$, для 2-го на величину $t_{2}=2 \sqrt{2h_{2}/g}$. Так как по условию задачи $h_{1}=4h_{2}$, то $t_{1}=2t_{2}$, т. е. для 2-ю шарика движение будет возобновляться вдвое чаше. Из соотношения начальных высот следует, что максимально достижимые шариками скорости также будут отличаться в два раза (см. рис. 1, 2):
$v_{1max}=2v_{2max} = \sqrt{2h_{1}g}=v_{0}$.
Для того чтобы скорости шариков совпали в какой-нибудь момент и по модулю, и по направлению, имеется две возможности. Либо впервые скорости шариков совпали спустя $\tau = nt_{1}$ (где $n = 0, 1, 2, \cdots $) от начала движения в течение интервала времени $t_{1}/4$, а потом они совпали спустя время $3 t_{1}/4$ от начала движения и совпадали в течение интервала $t_{1}/2$. Впоследствии с периодичностью $t_{1}$, совпадение скоростей будет продолжаться в течение интервала времени $t_{1}/2$. Другая возможность состоит в том, что 2-й шарик начал движение спустя время $\tau = t_{1}/2 + nt_{1}$ (где $n = 0, 1, 2, \cdots $). Спустя интервал времени $t_{1}/4$ скорости шариков впервые совпадают, и полное совпадение скоростей длится в течение интервала времени $t_{1}/2$. Далее картина повторяется с периодичностью $t_{1}$.
При других моментах начала движения 2-го шарика из-за кратности периодов повторяемости движений шариков графики скоростей не будут иметь общих точек, если их соответствующим образом «наложить», поэтому задача не будет иметь решений.
На упругую плиту свободно падают два стальных шарика: 1-й с высоты $h_{1} =44 см$. 2-й с высоты $h_{2} = 11 см$ спустя $\tau$ секунд после 1-го. Через некоторое время $\tau$ скорости шариков совпадают по модулю и направлению.
Определите время $\tau$ и интервал времени, в течение которого скорости обоих шариков будут равными. Считать, что шарики между собой не соударяются.
Решение:
Поскольку движение шариков происходит по вертикальной прямой, направим координатную ось вертикально вверх. Построим график зависимости проекции скорости шариков от времени на эту ось - рис.1 для 1-го шарика $(v_{1}(t))$, рис. 2 для 2-го $(v_{2}(t))$ (моменты начала движения пока никак не связаны между собой). Эти графики
Рис. 1
Рис. 2
будут представлять бесконечный набор одинаково наклоненных (ускорение одинаковое) участков прямых. По оси времени эти отрезки отстоят друг от друга: для 1-го шарика на величину $t_{1}=2 \sqrt{2h_{1}/g}$, для 2-го на величину $t_{2}=2 \sqrt{2h_{2}/g}$. Так как по условию задачи $h_{1}=4h_{2}$, то $t_{1}=2t_{2}$, т. е. для 2-ю шарика движение будет возобновляться вдвое чаше. Из соотношения начальных высот следует, что максимально достижимые шариками скорости также будут отличаться в два раза (см. рис. 1, 2):
$v_{1max}=2v_{2max} = \sqrt{2h_{1}g}=v_{0}$.
Для того чтобы скорости шариков совпали в какой-нибудь момент и по модулю, и по направлению, имеется две возможности. Либо впервые скорости шариков совпали спустя $\tau = nt_{1}$ (где $n = 0, 1, 2, \cdots $) от начала движения в течение интервала времени $t_{1}/4$, а потом они совпали спустя время $3 t_{1}/4$ от начала движения и совпадали в течение интервала $t_{1}/2$. Впоследствии с периодичностью $t_{1}$, совпадение скоростей будет продолжаться в течение интервала времени $t_{1}/2$. Другая возможность состоит в том, что 2-й шарик начал движение спустя время $\tau = t_{1}/2 + nt_{1}$ (где $n = 0, 1, 2, \cdots $). Спустя интервал времени $t_{1}/4$ скорости шариков впервые совпадают, и полное совпадение скоростей длится в течение интервала времени $t_{1}/2$. Далее картина повторяется с периодичностью $t_{1}$.
При других моментах начала движения 2-го шарика из-за кратности периодов повторяемости движений шариков графики скоростей не будут иметь общих точек, если их соответствующим образом «наложить», поэтому задача не будет иметь решений.
