Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4917
2017-11-07 
На горизонтальной поверхности стола лежит доска массой $M = 0,1 кг$ и длиной $L = 0,2 м$, прикрепленная легкой пружиной жесткости $k = 2,5 Н/м$ к стене. На краю доски покоится небольшой кубик массой $m = 0,05 кг$. В начальный момент пружина не деформирована. Затем доске кратковременным ударом сообщают некоторую скорость $v$ так, как показано на рис. При какой минимальной скорости v кубик упадет с доски? Коэффициент трения доски о поверхность стола $\mu = 0,15$. Трением кубика о доску пренебречь. Считать, что ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Поскольку трение между доской и кубиком отсутствует, кубик вплоть до падения с доски будет покоиться относительно стола.
Из закона сохранения энергии следует:
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{kl_{1}^{2}}{2} + \mu (M + m) gl_{1}$. (1)
Здесь $l_{1} > 0$ — максимальное смещение доски влево, относительно исходного положения.
Если $l_{1} > L$, то кубик упадет справа от доски, откуда условие падения кубика
$\frac{Mv_{1}^{2}}{2} > \frac{kL^{2}}{2} + \mu (M + m) gL \Rightarrow v_{1} > \sqrt{ \frac{kL^{2}}{M} + 2 \mu \left ( \frac{m + M}{M} \right ) gl}$.
Численное значение $v_{1} > 1,38 м/с$.
Если же окажется, что $L_{1} < L$, то доска может сменить направление своего движения и устремиться к стене. Если это произойдет, то расстояние $l_{2}$, пройденное доской до второй остановки найдется из закона сохранения энергии:
$\frac{kl_{1}^{2}}{2} = \mu (M + m)gl_{2} + \frac{k(l_{1} - l_{2})^{2}}{2}$.
Если $l_{2} > l_{1}$, то кубик упадет слева от доски. Предельный случай: $l_{1} = l_{2}$. Условие падения кубика
$l_{1} > \frac{2 \mu (M + m)g}{k}$. (2)
Отсюда, в частности, следует, что выполняется условие
$kl_{1} > \mu (M + m)g$,
т.е. доска не останется в покое в крайнем левом положении. Из (1) следует:
$\frac{Mv_{2}^{1}}{2} > \frac{k}{2} \left ( \frac{2 \mu (M +m)g}{k} \right )^{2} + \mu (M +m)g \left ( \frac{2 \mu (M +m)g}{k} \right ) \Rightarrow v_{2} > 2 \mu (M + m)g \sqrt{ \frac{2}{kM}}$.
Численно $v_{2} > 1,27 м/с$. Поскольку $v_{2} < v_{1}$, то окончательный ответ таков: при $v > 1,27 м/с$ кубик упадет с доски с левой стороны.
На горизонтальной поверхности стола лежит доска массой $M = 0,1 кг$ и длиной $L = 0,2 м$, прикрепленная легкой пружиной жесткости $k = 2,5 Н/м$ к стене. На краю доски покоится небольшой кубик массой $m = 0,05 кг$. В начальный момент пружина не деформирована. Затем доске кратковременным ударом сообщают некоторую скорость $v$ так, как показано на рис. При какой минимальной скорости v кубик упадет с доски? Коэффициент трения доски о поверхность стола $\mu = 0,15$. Трением кубика о доску пренебречь. Считать, что ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Поскольку трение между доской и кубиком отсутствует, кубик вплоть до падения с доски будет покоиться относительно стола.
Из закона сохранения энергии следует:
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{kl_{1}^{2}}{2} + \mu (M + m) gl_{1}$. (1)
Здесь $l_{1} > 0$ — максимальное смещение доски влево, относительно исходного положения.
Если $l_{1} > L$, то кубик упадет справа от доски, откуда условие падения кубика
$\frac{Mv_{1}^{2}}{2} > \frac{kL^{2}}{2} + \mu (M + m) gL \Rightarrow v_{1} > \sqrt{ \frac{kL^{2}}{M} + 2 \mu \left ( \frac{m + M}{M} \right ) gl}$.
Численное значение $v_{1} > 1,38 м/с$.
Если же окажется, что $L_{1} < L$, то доска может сменить направление своего движения и устремиться к стене. Если это произойдет, то расстояние $l_{2}$, пройденное доской до второй остановки найдется из закона сохранения энергии:
$\frac{kl_{1}^{2}}{2} = \mu (M + m)gl_{2} + \frac{k(l_{1} - l_{2})^{2}}{2}$.
Если $l_{2} > l_{1}$, то кубик упадет слева от доски. Предельный случай: $l_{1} = l_{2}$. Условие падения кубика
$l_{1} > \frac{2 \mu (M + m)g}{k}$. (2)
Отсюда, в частности, следует, что выполняется условие
$kl_{1} > \mu (M + m)g$,
т.е. доска не останется в покое в крайнем левом положении. Из (1) следует:
$\frac{Mv_{2}^{1}}{2} > \frac{k}{2} \left ( \frac{2 \mu (M +m)g}{k} \right )^{2} + \mu (M +m)g \left ( \frac{2 \mu (M +m)g}{k} \right ) \Rightarrow v_{2} > 2 \mu (M + m)g \sqrt{ \frac{2}{kM}}$.
Численно $v_{2} > 1,27 м/с$. Поскольку $v_{2} < v_{1}$, то окончательный ответ таков: при $v > 1,27 м/с$ кубик упадет с доски с левой стороны.
