Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4914
2017-11-07 
В схеме, изображенной на рис., в начальный момент оба ключа разомкнуты, конденсатор емкостью $C_{1}$ заряжен до разности потенциалов $U_{1}$, а конденсатор емкостью $C_{2} > C_{1}$ не заряжен. Сначала замыкают ключ $K_{1}$, а затем начинают попеременно замыкать и размыкать ключ $K_{2}$ в те моменты, когда напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно нулю. В результате в катушке с индуктивностью $L$ будут наблюдаться максимумы (локальные максимумы) абсолютной величины ЭДС самоиндукции. Найти эти максимальные значения ЭДС в процессе многократных замыканий и размыканий ключа $K_{2}$. Омическим сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
Решение:
После замыкания ключа $K_{1}$ заряд конденсатора $C_{1}$ начнет перетекать на конденсатор $C_{2}$. Когда напряжение на конденсаторе $C_{1}$ станет равным нулю, то весь заряд с конденсатора $C_{1}$ перетечёт на конденсатор $C_{2}$, а через катушку будет течь некоторый ток $I_{L}$. На основании закона сохранения энергии можно записать:
$\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} = \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}} + \frac{LI_{L}^{2}}{2}$. (1)
В этот момент замыкается ключ $K_{2}$. Конденсатор $C_{2}$ очень быстро разряжается, и возникает новая схема, изображённая на рис. Начальный заряд на конденсаторе $C_{1}$ равен нулю, а в цепи течет ток $I_{L}$. Очевидно, что максимальное напряжение на катушке $\mathcal{E}_{1max}$ будет равно по величине и противоположно по знаку максимальному напряжению $U_{1max}$ на конденсаторе $C_{1}$, а это будет иметь место при нулевом токе в цепи. Закон сохранения энергии позволяет записать:
$\frac{LI_{L}^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1max}^{2}}{2}$. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет получить:
$\frac{CU_{1max}^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}}$,
отсюда
$\mathcal{E}_{1max} = U_{1max} = U_{1} \sqrt{ 1 - \frac{C_{1}}{C_{2}}}$.
Когда конденсатор $C_{1}$ снова разрядится, а напряжение на нём станет равным нулю, ключ $K_{2}$ размыкается, и новая схема будет
иметь вид, изображённый на рис. Когда ток в цепи становится равным нулю, конденсаторы зарядятся до максимальных напряжений $U_{1max}^{ \prime}$ и $U_{2max}^{ \prime}$. Поскольку заряды на них равны, то $C_{1}U_{1max}^{ \prime} = C_{2}U_{2max}^{ \prime} = Q$. По Закону сохранения энергии
$\frac{LI_{L}^{2}}{2} = \frac{Q^{2}}{2C_{1}} + \frac{Q^{2}}{2C_{2}}$. (3)
Совместное решение (1) и (3) позволяет записать:
$\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}} = Q^{1} \frac{C_{1} + C_{2}}{2C_{1}C_{2}}$,
отсюда
$Q = C_{1}U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$.
Тогда
$U_{1max}^{ \prime} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$, а $U_{2max}^{ \prime} = \frac{C_{1}}{C_{2}} U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$.
Максимальная ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{2max}$ в катушке (напряжение на катушке) будет численно равна сумме напряжений на конденсаторах
$\mathcal{E}_{2max} = U_{1max}^{ \prime} + U_{2max}^{ \prime} = U_{1} \sqrt{ 1 - \left ( \frac{C_{1}}{C_{2}} \right )^{2}}$.
При дальнейших замыканиях и размыканиях ключа $K_{2}$ максимальное и минимальное значение ЭДС в катушке будут повторять значения $\mathcal{E}_{1max}$ и $\mathcal{E}_{2max}$.
В схеме, изображенной на рис., в начальный момент оба ключа разомкнуты, конденсатор емкостью $C_{1}$ заряжен до разности потенциалов $U_{1}$, а конденсатор емкостью $C_{2} > C_{1}$ не заряжен. Сначала замыкают ключ $K_{1}$, а затем начинают попеременно замыкать и размыкать ключ $K_{2}$ в те моменты, когда напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно нулю. В результате в катушке с индуктивностью $L$ будут наблюдаться максимумы (локальные максимумы) абсолютной величины ЭДС самоиндукции. Найти эти максимальные значения ЭДС в процессе многократных замыканий и размыканий ключа $K_{2}$. Омическим сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
Решение:
После замыкания ключа $K_{1}$ заряд конденсатора $C_{1}$ начнет перетекать на конденсатор $C_{2}$. Когда напряжение на конденсаторе $C_{1}$ станет равным нулю, то весь заряд с конденсатора $C_{1}$ перетечёт на конденсатор $C_{2}$, а через катушку будет течь некоторый ток $I_{L}$. На основании закона сохранения энергии можно записать:
$\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} = \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}} + \frac{LI_{L}^{2}}{2}$. (1)
В этот момент замыкается ключ $K_{2}$. Конденсатор $C_{2}$ очень быстро разряжается, и возникает новая схема, изображённая на рис. Начальный заряд на конденсаторе $C_{1}$ равен нулю, а в цепи течет ток $I_{L}$. Очевидно, что максимальное напряжение на катушке $\mathcal{E}_{1max}$ будет равно по величине и противоположно по знаку максимальному напряжению $U_{1max}$ на конденсаторе $C_{1}$, а это будет иметь место при нулевом токе в цепи. Закон сохранения энергии позволяет записать:
$\frac{LI_{L}^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1max}^{2}}{2}$. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет получить:
$\frac{CU_{1max}^{2}}{2} = \frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}}$,
отсюда
$\mathcal{E}_{1max} = U_{1max} = U_{1} \sqrt{ 1 - \frac{C_{1}}{C_{2}}}$.
Когда конденсатор $C_{1}$ снова разрядится, а напряжение на нём станет равным нулю, ключ $K_{2}$ размыкается, и новая схема будет
иметь вид, изображённый на рис. Когда ток в цепи становится равным нулю, конденсаторы зарядятся до максимальных напряжений $U_{1max}^{ \prime}$ и $U_{2max}^{ \prime}$. Поскольку заряды на них равны, то $C_{1}U_{1max}^{ \prime} = C_{2}U_{2max}^{ \prime} = Q$. По Закону сохранения энергии
$\frac{LI_{L}^{2}}{2} = \frac{Q^{2}}{2C_{1}} + \frac{Q^{2}}{2C_{2}}$. (3)
Совместное решение (1) и (3) позволяет записать:
$\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2}U_{1}^{2}}{2C_{2}} = Q^{1} \frac{C_{1} + C_{2}}{2C_{1}C_{2}}$,
отсюда
$Q = C_{1}U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$.
Тогда
$U_{1max}^{ \prime} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$, а $U_{2max}^{ \prime} = \frac{C_{1}}{C_{2}} U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2} - C_{1}}{C_{1} + C_{2}}}$.
Максимальная ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{2max}$ в катушке (напряжение на катушке) будет численно равна сумме напряжений на конденсаторах
$\mathcal{E}_{2max} = U_{1max}^{ \prime} + U_{2max}^{ \prime} = U_{1} \sqrt{ 1 - \left ( \frac{C_{1}}{C_{2}} \right )^{2}}$.
При дальнейших замыканиях и размыканиях ключа $K_{2}$ максимальное и минимальное значение ЭДС в катушке будут повторять значения $\mathcal{E}_{1max}$ и $\mathcal{E}_{2max}$.
