2017-11-07
В неподвижном цилиндрическом сосуде с площадью внутреннего сечения $S$ расположен поршень массой $M$ (см. рис.). В сосуде под поршнем находится некоторое количество воздуха. Поршень удерживается на высоте $h_{0}$ от дна сосуда нитью, натяжение которой равно $T$. После пережигания нити поршень движется без трения. На каком расстоянии от дна поршень будет иметь наибольшую скорость? Внешнее атмосферное давление равно $p_{0}$. Температура газа под поршнем поддерживается неизменной. Ускорение свободного падания равно $g$.
Решение:
Пусть начальное давление воздуха под поршнем $p_{1}$. Начальное условие равновесия поршня имеет вид:
$p_{1}S + T = p_{0}S + Mg$,
откуда $p_{1} = p_{0} + \frac{Mg - T}{S}$. После пережигания нити на поршень действует некоторая сила, которая определяет ускоренное движение поршня вниз, причем по мере движения результирующая сила меняется по величине, так как возрастает давление под поршнем. Под действием этой силы поршень движется с уменьшающимся по величине ускорением и достигает максимальной скорости в тот момент, когда ускорение становится равным нулю. Этот момент наступит тогда, когда снова выполнится условие равновесия сил:
$p_{2}S = Mg + p_{0}S$,
где $p_{2}$ — давление газа в этот момент. Поскольку температура не меняется, имеем право записать известное уравнение состояния: $p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$, или после подстановки значений $p_{1}, V_{1}, p_{2}$ и $V_{2}$,
$\left (p_{0} + \frac{Mg - T}{S} \right ) h_{0}S = \left ( p_{0} + \frac{Mg}{S} \right ) hS$,
где $h$ — искомое расстояние от дна поршня, при котором поршень имеет наибольшую скорость.
Из последнего выражения находим:
$h = h_{0} \frac{p_{0}S + Mg - T}{p_{0}S + Mg} = h_{0} \left ( 1 - \frac{T}{p_{0}S + Mg} \right )$.
Приведенные рассуждения справедливы, если максимальная скорость поршня $V_{max} \ll C_{зв} \sim \sqrt{ \frac{RT}{ \mu}}$.