Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4910
2017-11-07 
Муфта А движется с постоянной скоростью $v_{0}$ по кольцу радиуса $R$, а муфта В может двигаться только по прямой, проходящей через центр кольца (см. рис.). Муфты шарнирно соединены жестким стержнем длины $l$. Найти ускорение муфты В в тот момент, когда муфта А находится в верхней когда точке траектории.
Решение:
В указанный момент скорости муфт равны, а угловая скорость стержня равна нулю. Так как проекции скоростей муфт на стержень одинаковы, и стержень в данный момент движется поступательно, то проекции ускорений равны между собой (строгое обоснование этого можно найти в конце решения):
$a_{B} \cos \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{R} \sin \alpha$,
где $a_{B}$ — ускорение муфты В, $\alpha$ — угол между стержнем и прямой OB. Отсюда
$a_{B} = \frac{v_{0}^{2}}{R} tg \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{ \sqrt{l^{2} - R^{2}}}$.
Теперь обоснуем сделанные в начале задачи утверждения. Пусть $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$ — радиус-векторы точек А и B, $\vec{l} = \vec{r}_{A} - \vec{r}_{B} = \vec{BA}$. В силу нерастяжимости стержня $\vec{l} \cdot \vec{l} = l^{2}$ — постоянная величина. Дифференцируя это выражение, получаем:
$2 \vec{l}^{ \prime} \cdot \vec{l} = 0$, (1)
продифференцировав еще раз, имеем:
$2 \vec{l}^{ \prime \prime} \cdot \vec{l} + 2 \vec{l}^{ \prime} \cdot \vec{l}^{ \prime} = 0$ (2)
(производная вектора есть вектор, составленный из производных компонент). Согласно определениям скорости и ускорения,
$\vec{l}^{ \prime} = \vec{r}_{A}^{ \prime} - \vec{r}_{B}^{ \prime} = \vec{v}_{A} - \vec{v}_{B}, \vec{l}^{ \prime \prime} = \vec{r}_{A}^{ \prime \prime} - \vec{r}_{B}^{ \prime \prime} = \vec{a}_{A} - \vec{a}_{B}$.
Из соотношения (1) и из того, что скорости муфт А и В в данный момент направлены одинаково и не перпендикулярны вектору $\vec{l}$, следует, что $\vec{l}^{ \prime} = \vec{v}_{A} - \vec{v}_{B} = 0$. Тогда выражение (2) дает:
$( \vec{a}_{A} - \vec{a}_{B}) \vec{l} = 0$,
то есть проекции ускорений на стержень одинаковы.
Муфта А движется с постоянной скоростью $v_{0}$ по кольцу радиуса $R$, а муфта В может двигаться только по прямой, проходящей через центр кольца (см. рис.). Муфты шарнирно соединены жестким стержнем длины $l$. Найти ускорение муфты В в тот момент, когда муфта А находится в верхней когда точке траектории.
Решение:
В указанный момент скорости муфт равны, а угловая скорость стержня равна нулю. Так как проекции скоростей муфт на стержень одинаковы, и стержень в данный момент движется поступательно, то проекции ускорений равны между собой (строгое обоснование этого можно найти в конце решения):
$a_{B} \cos \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{R} \sin \alpha$,
где $a_{B}$ — ускорение муфты В, $\alpha$ — угол между стержнем и прямой OB. Отсюда
$a_{B} = \frac{v_{0}^{2}}{R} tg \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{ \sqrt{l^{2} - R^{2}}}$.
Теперь обоснуем сделанные в начале задачи утверждения. Пусть $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$ — радиус-векторы точек А и B, $\vec{l} = \vec{r}_{A} - \vec{r}_{B} = \vec{BA}$. В силу нерастяжимости стержня $\vec{l} \cdot \vec{l} = l^{2}$ — постоянная величина. Дифференцируя это выражение, получаем:
$2 \vec{l}^{ \prime} \cdot \vec{l} = 0$, (1)
продифференцировав еще раз, имеем:
$2 \vec{l}^{ \prime \prime} \cdot \vec{l} + 2 \vec{l}^{ \prime} \cdot \vec{l}^{ \prime} = 0$ (2)
(производная вектора есть вектор, составленный из производных компонент). Согласно определениям скорости и ускорения,
$\vec{l}^{ \prime} = \vec{r}_{A}^{ \prime} - \vec{r}_{B}^{ \prime} = \vec{v}_{A} - \vec{v}_{B}, \vec{l}^{ \prime \prime} = \vec{r}_{A}^{ \prime \prime} - \vec{r}_{B}^{ \prime \prime} = \vec{a}_{A} - \vec{a}_{B}$.
Из соотношения (1) и из того, что скорости муфт А и В в данный момент направлены одинаково и не перпендикулярны вектору $\vec{l}$, следует, что $\vec{l}^{ \prime} = \vec{v}_{A} - \vec{v}_{B} = 0$. Тогда выражение (2) дает:
$( \vec{a}_{A} - \vec{a}_{B}) \vec{l} = 0$,
то есть проекции ускорений на стержень одинаковы.
