ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-11-07   
Конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ заряжены до напряжений $U_{1}$ и $U_{2}$, как показано на рис. Найти заряды на конденсаторах после замыкания ключа в тот момент, когда ток в катушке индуктивности достигает максимального значения.



Решение:


В начальный момент заряды на конденсаторах

$Q_{1} = C_{1}U_{1}, Q_{2} = C_{2}U_{2}$.

В тот момент, когда ток в катушке индуктивности достигнет максимального значения, его производная по времени станет равной нулю. Это справедливо для любой функции в точке максимума или минимума. Поэтому

$U = L \frac{ \Delta I}{ \Delta t} = 0$.

Это означает, что падение напряжения на индуктивности и заряды на конденсаторах перераспределились таким образом, что

$U_{1}^{ \prime} + U_{2}^{ \prime} = 0; \frac{Q_{1}^{ \prime}}{C_{1}} - \frac{Q_{2}^{ \prime}}{C_{2}} = 0$.

Суммарный заряд конденсаторов при этом не изменился:

$Q_{1}^{ \prime} + Q_{2}^{ \prime} = Q_{1} + Q_{2}$.

Следовательно,

$\begin{cases} C_{2}Q_{1}^{ \prime} - C_{1} Q_{2}^{ \prime} = 0; \\ Q_{1}^{ \prime} + Q_{2}^{ \prime} = C_{1}U_{1} + C_{2}U_{2}, \end{cases}$

откуда

$Q_{1}^{ \prime} = \frac{C_{1} (C_{1}U_{1} + C_{2}U_{2})}{C_{1} + C_{2}}, Q_{2}^{ \prime} = \frac{C_{2} (C_{1}U_{1} + C_{2}U_{2})}{C_{1} + C_{2}}$.