Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4900
2017-11-07 
Внутренняя поверхность стеклянного бокала имеет форму параболоида вращения. Диаметр полости у верхнего среза равен $D$ при высоте полости $H$. В бокал положили маленькую бусинку, которая скользит без трения по стенкам бокала (см. рис.). Определить период свободных колебаний бусинки при небольшом отклонении ее от положения равновесия.
Решение:
Возможны различные подходы при решении этой задачи. Вот один из них. Сечение бокала по его меридиональной плоскости является параболой (см. рис.). Её коэффициент определяется из соотношения:
$H = a \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} \Rightarrow a = \frac{4H}{D^{2}}$.
Физика явления очень проста. При отклонении от положения равновесия шарик оказывается на наклонной поверхности, возникает скатывающая сила, всегда направленная в сторону положения равновесия. В этом усматривается прямая аналогия с математическим маятником, когда бусинка удерживается на траектории движения ниточкой. Но ведь совершенно безразлично, какова природа силы реакции, будь это натяжение нити или действие поверхности опоры. Поэтому днище параболоида в окрестности вершины можно заменить дугой окружности, проходящей через вершину параболоида и имеющей ту же кривизну. Пусть $h$ — высота подъема при отклонении $x$. Для параболы эта зависимость имеет вид:
$h = ax^{2}$. (1)
Для окружности, центр которой находится где-то выше на оси параболы:
$x = R \sin \alpha$;
$h = R(1 - \cos \alpha); h = R \cdot 2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$.
При малых углах отклонения $\sin \alpha$ с большой точностью можно заменить на $\alpha$, поэтому
$\begin{cases} x = R \cdot \alpha \\ h = \frac{R}{2} \alpha^{2} \end{cases} \Rightarrow \alpha = \frac{x}{R} \Rightarrow h = \frac{1}{2R} x^{2}$. (2)
Сопоставление формул (1) и (2) позволяет определить радиус окружности $R = \frac{D^{2}}{8H}$. Период же колебании, даётся стандартной формулой: $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$, то есть
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{D^{2}}{8Hg}} = \pi D \sqrt{ \frac{1}{2gH}} = \frac{ \pi D}{ \sqrt{2gH}}$.
Этот подход годится для случаев, когда изучается механическое движение точечных масс. Существует однако гораздо более мощный и общий подход к изучению колебаний. При этом предлагается рассуждать так:
Рассмотрим простую колебательную систему, состояние которой однозначно характеризуется одним параметром. Обозначим этот параметр за $x$. Это может быть угол отклонения маятника, или линейное растяжение пружины с грузом, или величина заряда конденсатора при электрических колебаниях — всё что угодно, лишь бы по данному параметру можно было однозначно определить потенциальную энергию системы, а по скорости изменения этого параметра
$v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$,
— однозначно определить кинетическую энергию системы.
Что является наиболее общим свойством, присущим колебательному процессу? Конечно, это периодическая повторяемость всех без исключения характеристик движения.
Идея заключается в том, что, какова бы ни была конкретная природа колебаний, всегда можно говорить о мгновенной потенциальной и кинетической энергии системы, которые взаимопревращаются друг в друга в каждом очередном периоде. При этом можно воображать себе простейшее механическое колебание груза массы $M$ на пружине с коэффициентом жесткости $k$. Конечно, масса $M$ — это некоторая воображаемая масса, которая позволяет правильно рассчитать кинетическую энергию системы по формуле:
$E_{к} = \frac{MV^{2}}{2}$.
Жесткость $k$ — это тоже воображаемая жесткость, которая позволяет правильно рассчитать потенциальную энергию колебательной системы по формуле:
$E_{п} = k \frac{x^{2}}{2}$.
Итак, если мы сумеем определить эти воображаемые $M$ и $k$ для конкретной системы, то и период колебаний и все другие зависимости, которые можно написать для груза на пружине, будут правильно вычисляться в интересующем нас случае по тем же самым формулам.
Внутренняя поверхность стеклянного бокала имеет форму параболоида вращения. Диаметр полости у верхнего среза равен $D$ при высоте полости $H$. В бокал положили маленькую бусинку, которая скользит без трения по стенкам бокала (см. рис.). Определить период свободных колебаний бусинки при небольшом отклонении ее от положения равновесия.
Решение:
Возможны различные подходы при решении этой задачи. Вот один из них. Сечение бокала по его меридиональной плоскости является параболой (см. рис.). Её коэффициент определяется из соотношения:
$H = a \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} \Rightarrow a = \frac{4H}{D^{2}}$.
Физика явления очень проста. При отклонении от положения равновесия шарик оказывается на наклонной поверхности, возникает скатывающая сила, всегда направленная в сторону положения равновесия. В этом усматривается прямая аналогия с математическим маятником, когда бусинка удерживается на траектории движения ниточкой. Но ведь совершенно безразлично, какова природа силы реакции, будь это натяжение нити или действие поверхности опоры. Поэтому днище параболоида в окрестности вершины можно заменить дугой окружности, проходящей через вершину параболоида и имеющей ту же кривизну. Пусть $h$ — высота подъема при отклонении $x$. Для параболы эта зависимость имеет вид:
$h = ax^{2}$. (1)
Для окружности, центр которой находится где-то выше на оси параболы:
$x = R \sin \alpha$;
$h = R(1 - \cos \alpha); h = R \cdot 2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$.
При малых углах отклонения $\sin \alpha$ с большой точностью можно заменить на $\alpha$, поэтому
$\begin{cases} x = R \cdot \alpha \\ h = \frac{R}{2} \alpha^{2} \end{cases} \Rightarrow \alpha = \frac{x}{R} \Rightarrow h = \frac{1}{2R} x^{2}$. (2)
Сопоставление формул (1) и (2) позволяет определить радиус окружности $R = \frac{D^{2}}{8H}$. Период же колебании, даётся стандартной формулой: $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$, то есть
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{D^{2}}{8Hg}} = \pi D \sqrt{ \frac{1}{2gH}} = \frac{ \pi D}{ \sqrt{2gH}}$.
Этот подход годится для случаев, когда изучается механическое движение точечных масс. Существует однако гораздо более мощный и общий подход к изучению колебаний. При этом предлагается рассуждать так:
Рассмотрим простую колебательную систему, состояние которой однозначно характеризуется одним параметром. Обозначим этот параметр за $x$. Это может быть угол отклонения маятника, или линейное растяжение пружины с грузом, или величина заряда конденсатора при электрических колебаниях — всё что угодно, лишь бы по данному параметру можно было однозначно определить потенциальную энергию системы, а по скорости изменения этого параметра
$v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$,
— однозначно определить кинетическую энергию системы.
Что является наиболее общим свойством, присущим колебательному процессу? Конечно, это периодическая повторяемость всех без исключения характеристик движения.
Идея заключается в том, что, какова бы ни была конкретная природа колебаний, всегда можно говорить о мгновенной потенциальной и кинетической энергии системы, которые взаимопревращаются друг в друга в каждом очередном периоде. При этом можно воображать себе простейшее механическое колебание груза массы $M$ на пружине с коэффициентом жесткости $k$. Конечно, масса $M$ — это некоторая воображаемая масса, которая позволяет правильно рассчитать кинетическую энергию системы по формуле:
$E_{к} = \frac{MV^{2}}{2}$.
Жесткость $k$ — это тоже воображаемая жесткость, которая позволяет правильно рассчитать потенциальную энергию колебательной системы по формуле:
$E_{п} = k \frac{x^{2}}{2}$.
Итак, если мы сумеем определить эти воображаемые $M$ и $k$ для конкретной системы, то и период колебаний и все другие зависимости, которые можно написать для груза на пружине, будут правильно вычисляться в интересующем нас случае по тем же самым формулам.
