Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4891
2017-11-07 
Плоский конденсатор массы $M$ с горизонтально расположенными пластинами подвешен на пружине. При этом удлинение пружины равно $\Delta l$. Найти дополнительное удлинение пружины, если в конденсатор параллельно его пластинам будет входить пучок электронов, отклоняющихся на выходе из конденсатора на угол $\alpha$ от горизонтали. Сила тока пучка электронов равна $I$, масса, заряд и начальная скорость электронов равны соответственно $m, e, v_{0}$.
Решение:
I способ.
Изменение поперечной компоненты импульса при прохождении отдельного электрона через конденсатор равно
$\Delta p_{ \perp} = p_{ \parallel} tg \alpha = mv_{0} tg \alpha$,
при этом продольная компонента $p_{ \parallel} = mv_{0} = const$ — не изменяется. За единицу времени через конденсатор пройдет $I/e$ электронов, следовательно
$\frac{ \Delta p_{ \perp}}{ \Delta t} = \frac{I mv_{0} tg \alpha}{e} = F$
— сила, действующая со стороны электрического поля конденсатора на электроны, находящиеся внутри него. По III-ему закону Ньютона такая же сила действует и со стороны электронов на конденсатор. Это вызовет дополнительное удлинение $\Delta l^{ \prime} = F/k$, где $k = Mg/ \Delta l$ - жесткость пружины. Окончательно
$\Delta l^{ \prime} = \frac{Imv_{0} \Delta l tg \alpha}{Mge}$.
II способ.
Суммарный заряд, находящийся внутри конденсатора в каждый момент времени в среднем постоянен во времени и равен
$Q = It = Il/v_{0}$,
где $l$ — продольный размер конденсатора, а $l/v_{0}$ — время нахождения отдельного электрона внутри конденсатора. Сила, которая действует со стороны электрического поля на этот заряд $F = EQ = ElI/v_{0}$. По условию
$tg \alpha = v_{ \perp}/ v_{ \parallel} = \frac{at}{v_{ \parallel}} = \frac{(eE/m)(l/v_{0})}{v_{0}} = \frac{eEl}{mv_{0}^{2}}$,
откуда $El = mv_{0}^{2} tg \alpha /e$.
Подставляя в $F$, получаем $F = Imv_{0} tg \alpha(a)/e$ и
$\Delta l^{ \prime} = \frac{F}{k} = \frac{Imv_{0} tg \alpha \Delta l}{Mge}$.
Во втором решении сделано предположение об однородности поля внутри конденсатора. На самом деле, полученный результат совершенно не зависит от характера распределения поля внутри конденсатора, что видно уже из первого способа решения — величина электрического поля там вообще не фигурирует.
Плоский конденсатор массы $M$ с горизонтально расположенными пластинами подвешен на пружине. При этом удлинение пружины равно $\Delta l$. Найти дополнительное удлинение пружины, если в конденсатор параллельно его пластинам будет входить пучок электронов, отклоняющихся на выходе из конденсатора на угол $\alpha$ от горизонтали. Сила тока пучка электронов равна $I$, масса, заряд и начальная скорость электронов равны соответственно $m, e, v_{0}$.
Решение:
I способ.
Изменение поперечной компоненты импульса при прохождении отдельного электрона через конденсатор равно
$\Delta p_{ \perp} = p_{ \parallel} tg \alpha = mv_{0} tg \alpha$,
при этом продольная компонента $p_{ \parallel} = mv_{0} = const$ — не изменяется. За единицу времени через конденсатор пройдет $I/e$ электронов, следовательно
$\frac{ \Delta p_{ \perp}}{ \Delta t} = \frac{I mv_{0} tg \alpha}{e} = F$
— сила, действующая со стороны электрического поля конденсатора на электроны, находящиеся внутри него. По III-ему закону Ньютона такая же сила действует и со стороны электронов на конденсатор. Это вызовет дополнительное удлинение $\Delta l^{ \prime} = F/k$, где $k = Mg/ \Delta l$ - жесткость пружины. Окончательно
$\Delta l^{ \prime} = \frac{Imv_{0} \Delta l tg \alpha}{Mge}$.
II способ.
Суммарный заряд, находящийся внутри конденсатора в каждый момент времени в среднем постоянен во времени и равен
$Q = It = Il/v_{0}$,
где $l$ — продольный размер конденсатора, а $l/v_{0}$ — время нахождения отдельного электрона внутри конденсатора. Сила, которая действует со стороны электрического поля на этот заряд $F = EQ = ElI/v_{0}$. По условию
$tg \alpha = v_{ \perp}/ v_{ \parallel} = \frac{at}{v_{ \parallel}} = \frac{(eE/m)(l/v_{0})}{v_{0}} = \frac{eEl}{mv_{0}^{2}}$,
откуда $El = mv_{0}^{2} tg \alpha /e$.
Подставляя в $F$, получаем $F = Imv_{0} tg \alpha(a)/e$ и
$\Delta l^{ \prime} = \frac{F}{k} = \frac{Imv_{0} tg \alpha \Delta l}{Mge}$.
Во втором решении сделано предположение об однородности поля внутри конденсатора. На самом деле, полученный результат совершенно не зависит от характера распределения поля внутри конденсатора, что видно уже из первого способа решения — величина электрического поля там вообще не фигурирует.
