Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4890
2017-11-07 
Что выгоднее: кантовать или тащить тяжелый куб, находящийся на ровной горизонтальной поверхности, если коэффициент трения куба о поверхность $\mu = 0,1$?
Решение:
Количественная постановка вопроса "Что выгоднее?" означает: "Что требует меньше работы?", поэтому необходимо сравнить между собой работы по перемещению куба на одинаковое расстояние $L$ двумя способами: при его волочении и кантовании.
При волочении эта работа определяется легко:
$A_{вол} = \mu MgL$,
где $M$ - масса куба. При каждом кантовании работа тратится на подъем центра масс куба из положения 1 в положение 2 (см. рис.).
Эта работа равна $A = Mg \Delta h_{ц.м.} = Mg \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} - \frac{a}{2} \right ) = \frac{Mga}{2} \left ( \sqrt{2} - 1 \right )$. Нужно учесть еще одно "облегчающее" суммарную работу обстоятельство. Когда куб под действием силы тяжести упадет из положения 2 в положение 3, он будет обладать запасом кинетической энергии $\Delta E$, которая перейдет в работу против сил трения, когда куб дополнительно переместится на расстояние $\delta x$ до полной остановки. Нетрудно показать, что эта величина $\Delta E = \frac{A}{2}$. Действительно, центр масс при движении куба из 1 в 3 движется по дуге окружности, которая в начальной и конечной точке имеет касательную, направленную к горизонтали под углом $45^{ \circ}$. Если $v$ — модуль скорости центра масс куба в точке $O^{ \prime}$, то для ее горизонтальной и вертикальной составляющих $v_{ \parallel}$ и $v_{ \perp}$ имеем $v_{ \parallel} = v_{ \perp} = \frac{v}{ \sqrt{2}}$. Вертикальная составляющая "гасится" при неупругом соударении с поверхностью (эта часть энергии сразу переходит в тепло), а горизонтальная и определяет энергию $\Delta E$. Таким образом,
$\Delta E = \frac{M}{2} \left ( \frac{v}{ \sqrt{2}} \right )^{2} = \frac{1}{2} \frac{Mv^{2}}{2} = \frac{1}{2}A$,
поскольку потенциальная энергия центра масс целиком переходит в ого кинетическую энергию на второй половине дуги $OO^{ \prime}$. Приравнивая
$\frac{A}{2} = \frac{Mga}{4} \left ( \sqrt{2} - 1 \right ) = \mu Mg \delta x$,
находим
$\delta x = \frac{a}{4} \mu ( \sqrt{2} - 1)$.
Суммарное перемещение центра масс при одном кантовании $\delta l = a + \delta x = a \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right )$. Общее число кантований, необходимое для перемещения куба на расстояние $L$:
$N \approx \frac{L}{ \Delta l} = \frac{L}{a \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right )} $.
а суммарная работа равна:
$A_{кант} = NA = \frac{MgL( \sqrt{1} - 1)}{2 \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right ) }$.
Составим отношение:
$\frac{ A_{вол}}{A_{кант}} = \frac{2 \mu \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right ) }{ \sqrt{2} - 1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{ \sqrt{2} - 1} \mu$.
Сравнивая его с единицей получаем:
при $\mu > \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4} \Rightarrow A_{вол} > A_{кант}$
и куб выгоднее кантовать,
при $\mu < \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4} \Rightarrow A_{вол} < A_{кант}$
и куб легче тащить. Значение $\mu$, данное в условии задачи, практически равно $\mu_{кр}$ поэтому с энергетической точки зрения при $\mu = \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4}$, эти два способа оказываются эквивалентными. (Это ответ)
Необходимо однако заметить, что в этом случае тащить волоком тяжелый груз оказывается все-таки легче, чем кантовать, особенно на большие расстояния. Это связано с тем, что биологический организм лучше переносит длительную монотонную нагрузку.
Что выгоднее: кантовать или тащить тяжелый куб, находящийся на ровной горизонтальной поверхности, если коэффициент трения куба о поверхность $\mu = 0,1$?
Решение:
Количественная постановка вопроса "Что выгоднее?" означает: "Что требует меньше работы?", поэтому необходимо сравнить между собой работы по перемещению куба на одинаковое расстояние $L$ двумя способами: при его волочении и кантовании.
При волочении эта работа определяется легко:
$A_{вол} = \mu MgL$,
где $M$ - масса куба. При каждом кантовании работа тратится на подъем центра масс куба из положения 1 в положение 2 (см. рис.).
Эта работа равна $A = Mg \Delta h_{ц.м.} = Mg \left ( \frac{a}{ \sqrt{2}} - \frac{a}{2} \right ) = \frac{Mga}{2} \left ( \sqrt{2} - 1 \right )$. Нужно учесть еще одно "облегчающее" суммарную работу обстоятельство. Когда куб под действием силы тяжести упадет из положения 2 в положение 3, он будет обладать запасом кинетической энергии $\Delta E$, которая перейдет в работу против сил трения, когда куб дополнительно переместится на расстояние $\delta x$ до полной остановки. Нетрудно показать, что эта величина $\Delta E = \frac{A}{2}$. Действительно, центр масс при движении куба из 1 в 3 движется по дуге окружности, которая в начальной и конечной точке имеет касательную, направленную к горизонтали под углом $45^{ \circ}$. Если $v$ — модуль скорости центра масс куба в точке $O^{ \prime}$, то для ее горизонтальной и вертикальной составляющих $v_{ \parallel}$ и $v_{ \perp}$ имеем $v_{ \parallel} = v_{ \perp} = \frac{v}{ \sqrt{2}}$. Вертикальная составляющая "гасится" при неупругом соударении с поверхностью (эта часть энергии сразу переходит в тепло), а горизонтальная и определяет энергию $\Delta E$. Таким образом,
$\Delta E = \frac{M}{2} \left ( \frac{v}{ \sqrt{2}} \right )^{2} = \frac{1}{2} \frac{Mv^{2}}{2} = \frac{1}{2}A$,
поскольку потенциальная энергия центра масс целиком переходит в ого кинетическую энергию на второй половине дуги $OO^{ \prime}$. Приравнивая
$\frac{A}{2} = \frac{Mga}{4} \left ( \sqrt{2} - 1 \right ) = \mu Mg \delta x$,
находим
$\delta x = \frac{a}{4} \mu ( \sqrt{2} - 1)$.
Суммарное перемещение центра масс при одном кантовании $\delta l = a + \delta x = a \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right )$. Общее число кантований, необходимое для перемещения куба на расстояние $L$:
$N \approx \frac{L}{ \Delta l} = \frac{L}{a \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right )} $.
а суммарная работа равна:
$A_{кант} = NA = \frac{MgL( \sqrt{1} - 1)}{2 \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right ) }$.
Составим отношение:
$\frac{ A_{вол}}{A_{кант}} = \frac{2 \mu \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} - 1}{4 \mu} \right ) }{ \sqrt{2} - 1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{ \sqrt{2} - 1} \mu$.
Сравнивая его с единицей получаем:
при $\mu > \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4} \Rightarrow A_{вол} > A_{кант}$
и куб выгоднее кантовать,
при $\mu < \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4} \Rightarrow A_{вол} < A_{кант}$
и куб легче тащить. Значение $\mu$, данное в условии задачи, практически равно $\mu_{кр}$ поэтому с энергетической точки зрения при $\mu = \mu_{кр} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{4}$, эти два способа оказываются эквивалентными. (Это ответ)
Необходимо однако заметить, что в этом случае тащить волоком тяжелый груз оказывается все-таки легче, чем кантовать, особенно на большие расстояния. Это связано с тем, что биологический организм лучше переносит длительную монотонную нагрузку.
