ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-11-07   
Груз массой $M$ подвешен на составной пружине, состоящей из двух разных пружин, имеющих жесткость $k_{1}$ и $k_{2}$ и длину в недеформированном состоянии $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно (см. рис.). Определить длину составной пружины, когда груз находится в состоянии покоя, а также период вертикальных колебаний. Массой пружин пренебречь.



Решение:


Когда груз свободно висит и находится в покое, обе пружины растянуты с одинаковой силой $F = Mg$. Можно вычислить удлинения обеих пружин:

$\Delta l_{1} = \frac{Mg}{k_{1}}, \Delta l_{2} = \frac{Mg}{k_{2}}$.

Удлинение составной пружины является их суммой:

$l_{экв} = \Delta_{1} + \Delta l_{2} = Mg \left ( \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} \right )$.

Длина пружины в состоянии покоя

$L = (l_{1} + \Delta l_{1}) + (l_{2} + \Delta l_{2}) =l_{1} + l_{2} + Mg \left ( \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} \right )$.

Если составная пружина под действием силы $F = Mg$ удлиняется на величину $\Delta l_{экв}$, то её жёсткость равна

$k_{экв} = \frac{mg}{ \Delta l_{экв} } = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$.

Период колебаний будет равен

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k_{экв}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M (k_{1} + k_{2})}{k_{1}k_{2}}}$.