Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 487
2014-06-01 
Какое время больше - спуска тела по наклонной-плоскости с высоты $h$ (при нулевой начальной скорости) или подъема с такой начальной скоростью, что тело останавливается на той же высоте $h$?
Решение:
Предположим сначала, что трение отсутствует. Тогда вследствие закона сохранения энергии скорость тела $v$ после спуска по наклонной плоскости с высоты $h$ равна скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы оно поднялось на ту же высоту $h$. Поскольку при подъеме и спуске ускорение по модулю одинаковое, время подъема будет равно времени спуска.
При учете силы трения скольжения скорость $v_{1}$ тела после спуска в конце пути меньше скорости $v$ (из-за работы силы трения), а скорость $v_{2}$, которую нужно сообщить телу для подъема, больше и по той же причине. Поскольку спуск и подьем происходят с постоянными (хотя и разными) ускорениями, а пройденные пути одинаковы, то время спуска $t_{1}$ и время подьема $t_{2}$ найдем из уравнений
$s=v_{1}t_{1}/2, s=v_{2}t_{2}/2$,
где $s$ - длина проходимою вдоль наклонной плоскости пути. Так как выполняется неравенство $v_{1} < v_{2}$, то легко получим, что $t_{1} > t_{2}$. Таким образом, при наличии силы трения скольжения время спуска с высоты $h$ больше времени подъема на ту же высоту.
При решении задачи не принималась во внимание сила сопротивления воздуха. Тем не менее легко показать, что если наряду с силой тяжести и силой нормальной реакции наклонной плоскости имеется сила сопротивления воздуха, то независимо от конкретного вида последней время спуска всегда будет больше времени подъема. Действительно, если тело в процессе подъема оказалось на промежуточной высоте $h^{\prime}$, то, чтобы оно смогло подняться на высоту $h$, его скорость $v^{\prime}$ на высоте $h^{\prime}$ при наличии силы сопротивления должна быть больше, чем при движении без сопротивления - часть кинетической энергии при последующем подъеме перейдет в теплоту. При спуске с высоты $h$ тело, оказавшись на высоте $h^{\prime}$ из-за работы силы сопротивления будет иметь скорость $v^{\prime \prime}$, которая меньше скорости тела, спускающегося в отсутствие силы сопротивления. Таким образом, проходя одну и ту же точку наклонной плоскости, на подъеме тело имеет скорость большую, чем на спуске. Поэтому небольшой участок наклонной плоскости вблизи точки $h^{\prime}$ тело на подъеме пройдет быстрее, чем на спуске. Разбивая весь путь тела на небольшие участки, видим, что на подъеме каждый такой участок будет пройден телом быстрее, чем на спуске. Следовательно, и общее время подъема будет меньше времени спуска.
Какое время больше - спуска тела по наклонной-плоскости с высоты $h$ (при нулевой начальной скорости) или подъема с такой начальной скоростью, что тело останавливается на той же высоте $h$?
Решение:
Предположим сначала, что трение отсутствует. Тогда вследствие закона сохранения энергии скорость тела $v$ после спуска по наклонной плоскости с высоты $h$ равна скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы оно поднялось на ту же высоту $h$. Поскольку при подъеме и спуске ускорение по модулю одинаковое, время подъема будет равно времени спуска.
При учете силы трения скольжения скорость $v_{1}$ тела после спуска в конце пути меньше скорости $v$ (из-за работы силы трения), а скорость $v_{2}$, которую нужно сообщить телу для подъема, больше и по той же причине. Поскольку спуск и подьем происходят с постоянными (хотя и разными) ускорениями, а пройденные пути одинаковы, то время спуска $t_{1}$ и время подьема $t_{2}$ найдем из уравнений
$s=v_{1}t_{1}/2, s=v_{2}t_{2}/2$,
где $s$ - длина проходимою вдоль наклонной плоскости пути. Так как выполняется неравенство $v_{1} < v_{2}$, то легко получим, что $t_{1} > t_{2}$. Таким образом, при наличии силы трения скольжения время спуска с высоты $h$ больше времени подъема на ту же высоту.
При решении задачи не принималась во внимание сила сопротивления воздуха. Тем не менее легко показать, что если наряду с силой тяжести и силой нормальной реакции наклонной плоскости имеется сила сопротивления воздуха, то независимо от конкретного вида последней время спуска всегда будет больше времени подъема. Действительно, если тело в процессе подъема оказалось на промежуточной высоте $h^{\prime}$, то, чтобы оно смогло подняться на высоту $h$, его скорость $v^{\prime}$ на высоте $h^{\prime}$ при наличии силы сопротивления должна быть больше, чем при движении без сопротивления - часть кинетической энергии при последующем подъеме перейдет в теплоту. При спуске с высоты $h$ тело, оказавшись на высоте $h^{\prime}$ из-за работы силы сопротивления будет иметь скорость $v^{\prime \prime}$, которая меньше скорости тела, спускающегося в отсутствие силы сопротивления. Таким образом, проходя одну и ту же точку наклонной плоскости, на подъеме тело имеет скорость большую, чем на спуске. Поэтому небольшой участок наклонной плоскости вблизи точки $h^{\prime}$ тело на подъеме пройдет быстрее, чем на спуске. Разбивая весь путь тела на небольшие участки, видим, что на подъеме каждый такой участок будет пройден телом быстрее, чем на спуске. Следовательно, и общее время подъема будет меньше времени спуска.
