Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4862
2017-11-06 
Герметичный цилиндр, наполненный идеальным газом, установлен вертикально. Тяжелый поршень, свободно скользящий внутри цилиндра, в состоянии равновесия делит объем цилиндра на две части, относящиеся как 1 : 3 (см. рис.). Массы газа под поршнем и над ним одинаковы. Каково будет соотношение объемов, если абсолютную температуру газа увеличить в три раза?
Решение:
Обозначим давление в верхнем отсеке как $p_{1}$, в нижнем $p_{2}$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить массу газа:
$m_{1} = \frac{ \mu p_{1} 3V}{RT}; m_{2} = \frac{ \mu p_{2}V}{RT}$.
По условию эти массы равны, откуда $p_{2} = 3p_{1}$. Разность давлений $p_{2} - p_{1} = 2p_{1}$ создаётся весом поршня и эта разность всегда постоянна:
$p_{2} - p_{1} = 2p_{1}$.
После нагрева газа это рассуждение останется справедливым:
$m_{1} = \frac{ \mu p_{1}^{ \prime} V_{1}^{ \prime}}{3RT} = m_{2} = \frac{ \mu ( p_{1}^{ \prime} + 2 p_{1})V_{2}^{ \prime}}{3RT}$,
что даёт следующий результат:
$\frac{V_{1}^{ \prime}}{V_{2}^{ \prime}} = \frac{p_{1}^{ \prime} + 2p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = 1 + 2 \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$.
Если мы сможем определить отношение $\frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$, то и решим задачу.
Применим теперь уравнение состояния к каждому из объёмов до и после нагрева:
$\frac{p_{1} 3V}{T} = \frac{p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime}}{3T}$; (верхний объём)
$\frac{(p_{1} + 2p_{1})V}{T} = \frac{(p_{1}^{ \prime} + 2p_{1})V_{2}^{ \prime}}{3T}$; (нижний объём)
Выразим из этих соотношений $V_{1}^{ \prime}$ и $V_{2}^{ \prime}$:
$V_{1}^{ \prime} = \frac{9p_{1}V}{p_{1}^{ \prime}}; V_{2}^{ \prime} = \frac{9p_{1}V}{p_{1}^{ \prime} + 2 p} $.
Очевидно, что $V_{1}^{ \prime} + V_{2}^{ \prime} = 3V + V = 4V$, откуда имеем:
$\frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} + \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime} + 2p_{1}} = \frac{4}{9}$.
Пусть $X = \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$, тогда
$X + \frac{1}{ \frac{q}{X} + 2} = \frac{4}{9}$,
что приводится к квадратному уравнению относительно $X$:
$9X^{2} + 5X - 2 = 0$.
Это уравнение имеет один неотрицательный корень:
$X = \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = \frac{ \sqrt{97} - 5}{18} \approx 0,27$.
Теперь окончательно находим:
$\frac{V_{1}^{ \prime}}{V_{2}^{ \prime}} = 1 + 2 \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = 1 + 2 \cdot 0,27 = 1,54$.
Герметичный цилиндр, наполненный идеальным газом, установлен вертикально. Тяжелый поршень, свободно скользящий внутри цилиндра, в состоянии равновесия делит объем цилиндра на две части, относящиеся как 1 : 3 (см. рис.). Массы газа под поршнем и над ним одинаковы. Каково будет соотношение объемов, если абсолютную температуру газа увеличить в три раза?
Решение:
Обозначим давление в верхнем отсеке как $p_{1}$, в нижнем $p_{2}$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить массу газа:
$m_{1} = \frac{ \mu p_{1} 3V}{RT}; m_{2} = \frac{ \mu p_{2}V}{RT}$.
По условию эти массы равны, откуда $p_{2} = 3p_{1}$. Разность давлений $p_{2} - p_{1} = 2p_{1}$ создаётся весом поршня и эта разность всегда постоянна:
$p_{2} - p_{1} = 2p_{1}$.
После нагрева газа это рассуждение останется справедливым:
$m_{1} = \frac{ \mu p_{1}^{ \prime} V_{1}^{ \prime}}{3RT} = m_{2} = \frac{ \mu ( p_{1}^{ \prime} + 2 p_{1})V_{2}^{ \prime}}{3RT}$,
что даёт следующий результат:
$\frac{V_{1}^{ \prime}}{V_{2}^{ \prime}} = \frac{p_{1}^{ \prime} + 2p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = 1 + 2 \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$.
Если мы сможем определить отношение $\frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$, то и решим задачу.
Применим теперь уравнение состояния к каждому из объёмов до и после нагрева:
$\frac{p_{1} 3V}{T} = \frac{p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime}}{3T}$; (верхний объём)
$\frac{(p_{1} + 2p_{1})V}{T} = \frac{(p_{1}^{ \prime} + 2p_{1})V_{2}^{ \prime}}{3T}$; (нижний объём)
Выразим из этих соотношений $V_{1}^{ \prime}$ и $V_{2}^{ \prime}$:
$V_{1}^{ \prime} = \frac{9p_{1}V}{p_{1}^{ \prime}}; V_{2}^{ \prime} = \frac{9p_{1}V}{p_{1}^{ \prime} + 2 p} $.
Очевидно, что $V_{1}^{ \prime} + V_{2}^{ \prime} = 3V + V = 4V$, откуда имеем:
$\frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} + \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime} + 2p_{1}} = \frac{4}{9}$.
Пусть $X = \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}}$, тогда
$X + \frac{1}{ \frac{q}{X} + 2} = \frac{4}{9}$,
что приводится к квадратному уравнению относительно $X$:
$9X^{2} + 5X - 2 = 0$.
Это уравнение имеет один неотрицательный корень:
$X = \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = \frac{ \sqrt{97} - 5}{18} \approx 0,27$.
Теперь окончательно находим:
$\frac{V_{1}^{ \prime}}{V_{2}^{ \prime}} = 1 + 2 \frac{p_{1}}{p_{1}^{ \prime}} = 1 + 2 \cdot 0,27 = 1,54$.
