Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4859
2017-11-06 
В ящике массы $M$, стоящем на столе, на деформированных пружинах с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ закреплено тело массы $m$ (см. рис.). Коэффициент трения между столом и ящиком равен $\xi$, трением между телом и ящиком пренебречь.
В некоторый момент из ружья со скоростью $v_{0}$, направленной по прямой АВ, вылетает пуля массы $\mu$, пролетает через предварительно сделанное отверстие в ящике, попадает в тело и застревает в нем. Определить количество теплоты, которое выделится в системе после вылета пули из ружья. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Тепло в системе будет выделяться в двух процессах: при абсолютно неупругом ударе пули о тело и в результате трения ящика о стол.
При абсолютно неупругом ударе можно записать законы сохранения импульса и энергии:
$\mu v_{0} = (m + \mu )u$,
$\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} = \frac{(m + \mu) u^{2}}{2} + Q$,
откуда
$u = v_{0} \frac{ \mu}{ m + \mu}$,
$Q = \frac{m \mu}{m + \mu} \frac{v_{0}^{2}}{2}$,
где $u$ — общая скорость тела и пули после удара, $Q$ — тепло, выделившееся в результате удара.
Величина $m \mu/(m + \mu)$ называется приведенной массой.
Рассмотрим теперь силы, действующие на ящик со стороны тела. Обозначим растяжения (или сжатия) пружин в положении равновесия $x_{1}$ и $x_{2}$ (понятно, что они одного знака). Тогда из условия равновесия тела
$k_{1}x_{1} = k_{2}x_{2}$. (1)
Если сместить тело из положения равновесия на величину $x$, то на ящик будет действовать сила
$F(x) = k_{1}(x + x_{1}) + k_{2}(x - x_{2}) = (k_{1} + k_{2})x$.
Понятно, что ящик с телом и пулей в нем будет двигаться не при любых $x$, а только если
$F(x) \geq F_{тр}, (k_{1} + k_{2})x \geq \xi g( \mu + m + M)$,
то есть минимальное смещение, при котором начнется движение, равно
$\Delta = \frac{ \xi g ( \mu + m + M)}{k_{1} + k_{1}}$.
Рассмотрим переход кинетической энергии в потенциальную (с использованием условия (1)).
$\frac{(m + \mu)u^{2}}{2} = \frac{ \mu^{2}}{m + \mu} \frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{k_{1}(x + x_{1})^{2}}{2} + \frac{k_{2}(x - x_{2})^{1}}{2} - \frac{k_{1}x_{1}^{2}}{2} - \frac{k_{2}x_{2}^{2}}{2} = \frac{(k_{1} + k_{2}) x^{2}}{2}$,
откуда
$x = \frac{ \mu}{ \sqrt{(m + \mu)( k_{1} + k_{2})}} v_{0}$. (2)
Ящик начнет движение, если $x \geq \Delta$, то есть, из (2),
$v_{0} \geq \frac{ \xi g ( \mu + m + M)}{ \mu} \sqrt{ \frac{m + \mu}{k_{1} + k_{2}}}$. (3)
В случае, если началось движение ящика, кинетическая энергия тела пойдет на сообщение кинетической энергии ящику и выделение тепла при трении ящика о стол. Движение ящика с течением времени прекратится. Точное определение количества энергии, перешедшего в тепло, в этом случае требует детального анализа движения системы, выходящего за рамки школьной программы. Однако и в этом случае можно оценить пределы изменения этого количества. Очевидно, количество тепла можно определить как разность начальной энергии (энергии пули $\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$) и энергии колебаний тела после окончательной остановки ящика $\frac{k_{1} + k_{2}}{2} x^{2}$, где $x$ — амплитуда установившихся колебаний.
$Q = \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} x^{2}$.
Поскольку в этом случае $0 < x < \Delta$, количество энергии, перешедшей в тепло
$\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} - \frac{k_{1} + k_{1}}{2} \Delta^{2} < Q < \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$.
Таким образом, при выполнении условия (3) количество теплоты, выделяющееся в системе
$\frac{ \mu v_{0}^{1}}{2} - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} \Delta^{2} < Q < \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$.
При условии, что скорость пули
$v_{0} \leq \frac{ \xi ( \mu + m + M)}{ \mu} \sqrt{ \frac{m + \mu}{k_{1} + k_{2}}}$,
количество выделившегося тепла
$Q = \frac{m \mu v_{0}^{2}}{(m + \mu) \cdot 2}$.
В ящике массы $M$, стоящем на столе, на деформированных пружинах с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ закреплено тело массы $m$ (см. рис.). Коэффициент трения между столом и ящиком равен $\xi$, трением между телом и ящиком пренебречь.
В некоторый момент из ружья со скоростью $v_{0}$, направленной по прямой АВ, вылетает пуля массы $\mu$, пролетает через предварительно сделанное отверстие в ящике, попадает в тело и застревает в нем. Определить количество теплоты, которое выделится в системе после вылета пули из ружья. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Тепло в системе будет выделяться в двух процессах: при абсолютно неупругом ударе пули о тело и в результате трения ящика о стол.
При абсолютно неупругом ударе можно записать законы сохранения импульса и энергии:
$\mu v_{0} = (m + \mu )u$,
$\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} = \frac{(m + \mu) u^{2}}{2} + Q$,
откуда
$u = v_{0} \frac{ \mu}{ m + \mu}$,
$Q = \frac{m \mu}{m + \mu} \frac{v_{0}^{2}}{2}$,
где $u$ — общая скорость тела и пули после удара, $Q$ — тепло, выделившееся в результате удара.
Величина $m \mu/(m + \mu)$ называется приведенной массой.
Рассмотрим теперь силы, действующие на ящик со стороны тела. Обозначим растяжения (или сжатия) пружин в положении равновесия $x_{1}$ и $x_{2}$ (понятно, что они одного знака). Тогда из условия равновесия тела
$k_{1}x_{1} = k_{2}x_{2}$. (1)
Если сместить тело из положения равновесия на величину $x$, то на ящик будет действовать сила
$F(x) = k_{1}(x + x_{1}) + k_{2}(x - x_{2}) = (k_{1} + k_{2})x$.
Понятно, что ящик с телом и пулей в нем будет двигаться не при любых $x$, а только если
$F(x) \geq F_{тр}, (k_{1} + k_{2})x \geq \xi g( \mu + m + M)$,
то есть минимальное смещение, при котором начнется движение, равно
$\Delta = \frac{ \xi g ( \mu + m + M)}{k_{1} + k_{1}}$.
Рассмотрим переход кинетической энергии в потенциальную (с использованием условия (1)).
$\frac{(m + \mu)u^{2}}{2} = \frac{ \mu^{2}}{m + \mu} \frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{k_{1}(x + x_{1})^{2}}{2} + \frac{k_{2}(x - x_{2})^{1}}{2} - \frac{k_{1}x_{1}^{2}}{2} - \frac{k_{2}x_{2}^{2}}{2} = \frac{(k_{1} + k_{2}) x^{2}}{2}$,
откуда
$x = \frac{ \mu}{ \sqrt{(m + \mu)( k_{1} + k_{2})}} v_{0}$. (2)
Ящик начнет движение, если $x \geq \Delta$, то есть, из (2),
$v_{0} \geq \frac{ \xi g ( \mu + m + M)}{ \mu} \sqrt{ \frac{m + \mu}{k_{1} + k_{2}}}$. (3)
В случае, если началось движение ящика, кинетическая энергия тела пойдет на сообщение кинетической энергии ящику и выделение тепла при трении ящика о стол. Движение ящика с течением времени прекратится. Точное определение количества энергии, перешедшего в тепло, в этом случае требует детального анализа движения системы, выходящего за рамки школьной программы. Однако и в этом случае можно оценить пределы изменения этого количества. Очевидно, количество тепла можно определить как разность начальной энергии (энергии пули $\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$) и энергии колебаний тела после окончательной остановки ящика $\frac{k_{1} + k_{2}}{2} x^{2}$, где $x$ — амплитуда установившихся колебаний.
$Q = \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} x^{2}$.
Поскольку в этом случае $0 < x < \Delta$, количество энергии, перешедшей в тепло
$\frac{ \mu v_{0}^{2}}{2} - \frac{k_{1} + k_{1}}{2} \Delta^{2} < Q < \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$.
Таким образом, при выполнении условия (3) количество теплоты, выделяющееся в системе
$\frac{ \mu v_{0}^{1}}{2} - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} \Delta^{2} < Q < \frac{ \mu v_{0}^{2}}{2}$.
При условии, что скорость пули
$v_{0} \leq \frac{ \xi ( \mu + m + M)}{ \mu} \sqrt{ \frac{m + \mu}{k_{1} + k_{2}}}$,
количество выделившегося тепла
$Q = \frac{m \mu v_{0}^{2}}{(m + \mu) \cdot 2}$.
