Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4849
2017-11-06 
Дюралюминиевую линейку длиной $L = 30 см$ изгибают так, что она образует полуокружность. Оценить, какова должна быть толщина $d$ линейки, чтобы она при этом не лопнула? Модуль Юнга для дюралюминия $Е = 7 \cdot 10^{10} Н/м^{2}$, прочность на разрыв $\sigma_{разр} = 45 \cdot 10^{7} Н/м^{2}$. Считать, что вплоть до разрыва деформации в дюралюминии остаются упругими.
Примечание: Считать известным> что при изгибе тонкой линейки в слое, равноотстоящем от наружной и внутренней поверхностей, нет деформаций растяжения и сжатия.
Решение:
Из закона Гука следует, что механическое напряжение $\sigma = E \frac{ \Delta l}{L}$. Наружная длина линейки с радиусом $R$ равна $l = \pi \left ( R + \frac{d}{2} \right ) = \pi R + \frac{ \pi d}{4} = L + \frac{ \pi}{2} d$ (см. рис.). Следовательно удлинение внешней поверхности линейки $\Delta l = \frac{ \pi d}{2}$.
$E \frac{ \Delta l}{L} = E \frac{ \pi d}{2L} \leq \sigma_{раз}$.
Линейка не лопнет, если
$d \leq \frac{2L \sigma_{раз}}{ \pi E} = 1,23 мм$.
Дюралюминиевую линейку длиной $L = 30 см$ изгибают так, что она образует полуокружность. Оценить, какова должна быть толщина $d$ линейки, чтобы она при этом не лопнула? Модуль Юнга для дюралюминия $Е = 7 \cdot 10^{10} Н/м^{2}$, прочность на разрыв $\sigma_{разр} = 45 \cdot 10^{7} Н/м^{2}$. Считать, что вплоть до разрыва деформации в дюралюминии остаются упругими.
Примечание: Считать известным> что при изгибе тонкой линейки в слое, равноотстоящем от наружной и внутренней поверхностей, нет деформаций растяжения и сжатия.
Решение:
Из закона Гука следует, что механическое напряжение $\sigma = E \frac{ \Delta l}{L}$. Наружная длина линейки с радиусом $R$ равна $l = \pi \left ( R + \frac{d}{2} \right ) = \pi R + \frac{ \pi d}{4} = L + \frac{ \pi}{2} d$ (см. рис.). Следовательно удлинение внешней поверхности линейки $\Delta l = \frac{ \pi d}{2}$.
$E \frac{ \Delta l}{L} = E \frac{ \pi d}{2L} \leq \sigma_{раз}$.
Линейка не лопнет, если
$d \leq \frac{2L \sigma_{раз}}{ \pi E} = 1,23 мм$.
