Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4829
2017-11-06 
Вильям Томсон, удостоенный за научные заслуги звания лорда Кельвина, размышляя о проблемах термодинамики догадался, что для отопления домов в зимнее время можно получить гораздо больше тепла, чем его выделяется в топке котла при сгорании топлива. Для этого нужно применить две тепловых машины. Одну из них нужно использовать как тепловой двигатель, а другую как холодильную машину. Нарисуйте схему такого способа отопления дома, указав, как должны располагаться теплообменники обеих машин, если при сгорании топлива образуется тепло при температуре $1000^{ \circ} С$, для отопления дома подается вода при температуре $90^{ \circ} С$, а на улице 20 градусов мороза. Тепловые машины считать идеальными. Потерями тепла пренебречь.
Решение:
Рассмотрим следующую схему отопления. Будем использовать первую тепловую машину как двигатель с температурой нагревателя $1000^{ \circ} С$ ($T_{1} = 1273 К$) и температурой холодильника $90^{ \circ} С$ ($T_{2} = 363 К$); пусть вся работа двигателя совершается над рабочим телом второй тепловой машины, у которой холодильник имеет температуру $T_{2}$ (горячая вода), нагреватель — $T_{3} = 253 К$ ( $- 20^{ \circ} С$ — воздух на улице). Как обычно, нагревателем здесь считается тело, у которого тепловая машина забирает теплоту, холодильником — тело, которому она отдает теплоту.
Для любой идеальной тепловой машины с температурой нагревателя $T_{н}$ и температурой холодильника $T_{х}$ отношение совершенной ею работы к теплоте, полученной от нагревателя,
$\frac{A}{Q_{н}} = \frac{T_{н} - T_{х}}{T_{н}}$.
Для двигателя это отношение имеет смысл КПД. Пусть $Q_{1}$ — теплота, полученная при сгорании топлива, тогда первая тепловая машина совершает над второй работу
$A_{1} = Q_{1} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$
и отдает воде теплоту
$Q_{2_{1}} = Q_{1} - A_{1} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Вторая тепловая машина совершает работу $A_{2} = - A_{1}$, отбирая у своего нагревателя теплоту
$Q_{3} = A_{2} \frac{T_{3}}{T_{3} - T_{2}} = A_{1} \frac{T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$,
при этом ее холодильник получает
$Q_{2_{2}} = Q_{3} - A_{2} = Q_{3} + A_{1} = A_{1} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}}$.
Общая переданная воде теплота
$Q_{2} = Q_{2_{1}} + Q_{2_{2}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} + Q_{1} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$.
Такой же результат получается, если принять за холодильник первой тепловой машины не воду, а воздух на улице. В этом случае
$Q_{2} = Q_{2_{2}} = A_{1} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{1}} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$.
КПД этих способов
$\eta = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}, \eta \approx 2,64$.
Вильям Томсон, удостоенный за научные заслуги звания лорда Кельвина, размышляя о проблемах термодинамики догадался, что для отопления домов в зимнее время можно получить гораздо больше тепла, чем его выделяется в топке котла при сгорании топлива. Для этого нужно применить две тепловых машины. Одну из них нужно использовать как тепловой двигатель, а другую как холодильную машину. Нарисуйте схему такого способа отопления дома, указав, как должны располагаться теплообменники обеих машин, если при сгорании топлива образуется тепло при температуре $1000^{ \circ} С$, для отопления дома подается вода при температуре $90^{ \circ} С$, а на улице 20 градусов мороза. Тепловые машины считать идеальными. Потерями тепла пренебречь.
Решение:
Рассмотрим следующую схему отопления. Будем использовать первую тепловую машину как двигатель с температурой нагревателя $1000^{ \circ} С$ ($T_{1} = 1273 К$) и температурой холодильника $90^{ \circ} С$ ($T_{2} = 363 К$); пусть вся работа двигателя совершается над рабочим телом второй тепловой машины, у которой холодильник имеет температуру $T_{2}$ (горячая вода), нагреватель — $T_{3} = 253 К$ ( $- 20^{ \circ} С$ — воздух на улице). Как обычно, нагревателем здесь считается тело, у которого тепловая машина забирает теплоту, холодильником — тело, которому она отдает теплоту.
Для любой идеальной тепловой машины с температурой нагревателя $T_{н}$ и температурой холодильника $T_{х}$ отношение совершенной ею работы к теплоте, полученной от нагревателя,
$\frac{A}{Q_{н}} = \frac{T_{н} - T_{х}}{T_{н}}$.
Для двигателя это отношение имеет смысл КПД. Пусть $Q_{1}$ — теплота, полученная при сгорании топлива, тогда первая тепловая машина совершает над второй работу
$A_{1} = Q_{1} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$
и отдает воде теплоту
$Q_{2_{1}} = Q_{1} - A_{1} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}}$.
Вторая тепловая машина совершает работу $A_{2} = - A_{1}$, отбирая у своего нагревателя теплоту
$Q_{3} = A_{2} \frac{T_{3}}{T_{3} - T_{2}} = A_{1} \frac{T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$,
при этом ее холодильник получает
$Q_{2_{2}} = Q_{3} - A_{2} = Q_{3} + A_{1} = A_{1} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}}$.
Общая переданная воде теплота
$Q_{2} = Q_{2_{1}} + Q_{2_{2}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} + Q_{1} \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$.
Такой же результат получается, если принять за холодильник первой тепловой машины не воду, а воздух на улице. В этом случае
$Q_{2} = Q_{2_{2}} = A_{1} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{1}} \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{3}} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}$.
КПД этих способов
$\eta = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} \frac{T_{1} - T_{3}}{T_{2} - T_{3}}, \eta \approx 2,64$.
