Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4815
2017-11-06 
На поверхности жидкости плотности $\rho$ плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погруженный в жидкость. Определить:
а) На сколько стакан погрузится в жидкость, если его поставить на поверхность вверх дном. Высота стакана $h$, атмосферное давление $p_{0}$.
б) На какую глубину нужно погрузить перевернутый вверх дном стакан, чтобы он вместе с заключенным в нем воздухом, пошел ко дну?
Решение:
Вес стакана очевидно равен $\frac{1}{2} \rho ghS$, где $S$ — площадь сечения стакана (поскольку стакан тонкий толщиной стенок пренебрегаем). После того, как стакан перевернули он будет плавать при условии, если его вес равен силе, действующей изнутри стакана на его дно. Эта сила равна избыточному (по отношению к атмосферному) давлению $\Delta p = p - p_{0}$, умноженному на площадь сечения. Считая температуру постоянной, давление $P$ внутри стакана определяем из известного соотношения:
$pSx = p_{0}hS$,
где $x$ — высота столба воздуха в стакане (см. рис.), откуда $p = p_{0} \frac{h}{x}$ и2
$\frac{1}{2} \rho ghS = \left ( p_{0} \frac{h}{x} - p_{0} \right ) S$.
Из полученного уравнения определяем величину $x$:
$x = \frac{p_{0}h}{p_{0} + \frac{1}{2} \rho gh}$.
Теперь рассмотрим сечение $OO$ на уровне конца стакана. Равновесие жидкости в этом сечении позволяет записать следующее уравнение относительно давлений:
$\rho gH + p_{0} = p + \rho g(h - x)$.
Подставляя значение $x$ из предыдущего и произведя арифметические выкладки, получим для искомой глубины погружения стакана:
$H = \frac{h}{2} \left ( 1 + \frac{ \rho gh}{p_{0} + \frac{1}{2} \rho gh} \right )$.
При погружении перевернутого стакана в жидкость объем вытесненной жидкости (а, следовательно, и выталкивающая сила) сначала растет, однако затем, после того, как донышко стакана устанавливается ниже уровня жидкости, начинает уменьшаться. Это происходит потому, что воздух в стакане с глубиной сжимается и объем его уменьшается. При достижении определенной глубины погружения $H_{п}$ выталкивающая сила становится меньше веса стакана и стакан тонет. Это условие может быть записано так:
$\rho V_{1} g < \frac{1}{2} \rho ghS$, (1)
здесь $V_{1}$ - объем воздуха в стакане, определяемый в свою очередь как
$V_{1} = \frac{p_{0}hS}{p_{1}}$, (2)
где $p_{1}$ — давление воздуха в стакане на искомой глубине. Это давление на глубине $H_{п}$ можно записать (пренебрегая давлением столба жидкости в стакане):
$P_{1} = \rho gH_{п} + P_{0}$, (3)
Подставлял (2) и (3), в (1) получим
$H_{п} > \frac{p_{0}}{ \rho g}$.
Простая оценка ($\rho_{0} = 10^{5} Н/м^{2},g = 10 м/c^{2}, \rho = 10^{3} кг/м^{3}$) показывает, что $H > 10 м$.
На поверхности жидкости плотности $\rho$ плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погруженный в жидкость. Определить:
а) На сколько стакан погрузится в жидкость, если его поставить на поверхность вверх дном. Высота стакана $h$, атмосферное давление $p_{0}$.
б) На какую глубину нужно погрузить перевернутый вверх дном стакан, чтобы он вместе с заключенным в нем воздухом, пошел ко дну?
Решение:
Вес стакана очевидно равен $\frac{1}{2} \rho ghS$, где $S$ — площадь сечения стакана (поскольку стакан тонкий толщиной стенок пренебрегаем). После того, как стакан перевернули он будет плавать при условии, если его вес равен силе, действующей изнутри стакана на его дно. Эта сила равна избыточному (по отношению к атмосферному) давлению $\Delta p = p - p_{0}$, умноженному на площадь сечения. Считая температуру постоянной, давление $P$ внутри стакана определяем из известного соотношения:
$pSx = p_{0}hS$,
где $x$ — высота столба воздуха в стакане (см. рис.), откуда $p = p_{0} \frac{h}{x}$ и2
$\frac{1}{2} \rho ghS = \left ( p_{0} \frac{h}{x} - p_{0} \right ) S$.
Из полученного уравнения определяем величину $x$:
$x = \frac{p_{0}h}{p_{0} + \frac{1}{2} \rho gh}$.
Теперь рассмотрим сечение $OO$ на уровне конца стакана. Равновесие жидкости в этом сечении позволяет записать следующее уравнение относительно давлений:
$\rho gH + p_{0} = p + \rho g(h - x)$.
Подставляя значение $x$ из предыдущего и произведя арифметические выкладки, получим для искомой глубины погружения стакана:
$H = \frac{h}{2} \left ( 1 + \frac{ \rho gh}{p_{0} + \frac{1}{2} \rho gh} \right )$.
При погружении перевернутого стакана в жидкость объем вытесненной жидкости (а, следовательно, и выталкивающая сила) сначала растет, однако затем, после того, как донышко стакана устанавливается ниже уровня жидкости, начинает уменьшаться. Это происходит потому, что воздух в стакане с глубиной сжимается и объем его уменьшается. При достижении определенной глубины погружения $H_{п}$ выталкивающая сила становится меньше веса стакана и стакан тонет. Это условие может быть записано так:
$\rho V_{1} g < \frac{1}{2} \rho ghS$, (1)
здесь $V_{1}$ - объем воздуха в стакане, определяемый в свою очередь как
$V_{1} = \frac{p_{0}hS}{p_{1}}$, (2)
где $p_{1}$ — давление воздуха в стакане на искомой глубине. Это давление на глубине $H_{п}$ можно записать (пренебрегая давлением столба жидкости в стакане):
$P_{1} = \rho gH_{п} + P_{0}$, (3)
Подставлял (2) и (3), в (1) получим
$H_{п} > \frac{p_{0}}{ \rho g}$.
Простая оценка ($\rho_{0} = 10^{5} Н/м^{2},g = 10 м/c^{2}, \rho = 10^{3} кг/м^{3}$) показывает, что $H > 10 м$.
