Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4810
2017-11-06 
Пуля массой $m$ и удельной теплоемкостью с, имеющая скорость $v_{0}$, пробивает брусок массы $M (M \gg m)$, сделанный из материала с низкой теплопроводностью (см. рис.). После этого брусок начинает скользить по поверхности со скоростью $U$. Определить изменение температуры пули.
Решение:
Пробивание пулей внутренности бруска связано с разрушением его внутренней структуры и нагреванием системы "пуля-брусок" и представляет собой типичный пример неупругого соударения. Обозначим через $Q$ — часть начальной кинетической энергии пули, переходящей во внутреннюю энергию системы "пуля-брусок". Бели пренебречь работой по разрушению материала бруска, то $Q$ — это количество тепла, выделившееся в системе. В силу малой (по сравнению с пулей) теплопроводности материала бруска, это тепло практически целиком выделится в пуле, так что изменение ее температуры в этом случае можно найти из соотношения $\Delta T = Q/cm$. Выражение для $Q$ можно получить из законов сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{ \prime 2}}{2} + \frac{MU^{2}}{2} + Q$
и импульса
$mv_{0} = mv^{ \prime} + MU$.
Здесь $v^{ \prime}$ - скорость пули, вылетевшей из бруска. Выражая $v^{ \prime}$ из второго равенства и подставляя его в первое, находим
$Q = MU \left ( v_{0} - \frac{U}{2} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \right )$,
откуда
$\Delta T = \frac{MU}{cm} \left ( v_{0} - \frac{U}{2} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \right )$.
Повседневный опыт говорит нам о том, что всегда $\Delta T > 0$. Из полученной же нами формулы следует, что при $U > 2v_{0}/(1 + M/m)$ имеет место неравенство $\Delta T < 0$. Это означает, что в полном соответствии с законами сохранения пуля при пролете сквозь брусок может охладиться, а ее тепловая энергия перейти в кинетическую энергию бруска! Объяснение этого парадокса дает второе начало термодинамики, которое запрещает процессы подобного рода, а, следовательно, и записанное нами неравенство для скоростей.
Оценим, наконец, работу, совершаемую пулей по разрушению материала бруска. Эта работа производится в объеме канала, пробиваемого пулей при пролете через брусок. Следовательно, с точностью до числовых множителей: $A \sim l \Delta S$, где $l$ — длина канала, $\Delta S$ — площадь поперечного сечения пули. Длина канала, по порядку величины, совпадает со средним размером бруска: $l \sim V_{бр}^{1/3} \sim M^{1/3}$. Площадь сечения пули пропорциональна квадрату среднего размера пули $\Delta S \sim V_{п}^{2/3} \sim m^{2/3}$, следовательно $A \sim M^{1/3}m^{2/3}$. Если сравнить эту работу с кинетической энергией бруска $T$, пропорциональной $M$, получим $A/T \sim (m/M)^{2/3}$, что по условию задачи является малой величиной. Таким образом, наше пренебрежение работой разрушения является законным.
Пуля массой $m$ и удельной теплоемкостью с, имеющая скорость $v_{0}$, пробивает брусок массы $M (M \gg m)$, сделанный из материала с низкой теплопроводностью (см. рис.). После этого брусок начинает скользить по поверхности со скоростью $U$. Определить изменение температуры пули.
Решение:
Пробивание пулей внутренности бруска связано с разрушением его внутренней структуры и нагреванием системы "пуля-брусок" и представляет собой типичный пример неупругого соударения. Обозначим через $Q$ — часть начальной кинетической энергии пули, переходящей во внутреннюю энергию системы "пуля-брусок". Бели пренебречь работой по разрушению материала бруска, то $Q$ — это количество тепла, выделившееся в системе. В силу малой (по сравнению с пулей) теплопроводности материала бруска, это тепло практически целиком выделится в пуле, так что изменение ее температуры в этом случае можно найти из соотношения $\Delta T = Q/cm$. Выражение для $Q$ можно получить из законов сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{ \prime 2}}{2} + \frac{MU^{2}}{2} + Q$
и импульса
$mv_{0} = mv^{ \prime} + MU$.
Здесь $v^{ \prime}$ - скорость пули, вылетевшей из бруска. Выражая $v^{ \prime}$ из второго равенства и подставляя его в первое, находим
$Q = MU \left ( v_{0} - \frac{U}{2} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \right )$,
откуда
$\Delta T = \frac{MU}{cm} \left ( v_{0} - \frac{U}{2} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \right )$.
Повседневный опыт говорит нам о том, что всегда $\Delta T > 0$. Из полученной же нами формулы следует, что при $U > 2v_{0}/(1 + M/m)$ имеет место неравенство $\Delta T < 0$. Это означает, что в полном соответствии с законами сохранения пуля при пролете сквозь брусок может охладиться, а ее тепловая энергия перейти в кинетическую энергию бруска! Объяснение этого парадокса дает второе начало термодинамики, которое запрещает процессы подобного рода, а, следовательно, и записанное нами неравенство для скоростей.
Оценим, наконец, работу, совершаемую пулей по разрушению материала бруска. Эта работа производится в объеме канала, пробиваемого пулей при пролете через брусок. Следовательно, с точностью до числовых множителей: $A \sim l \Delta S$, где $l$ — длина канала, $\Delta S$ — площадь поперечного сечения пули. Длина канала, по порядку величины, совпадает со средним размером бруска: $l \sim V_{бр}^{1/3} \sim M^{1/3}$. Площадь сечения пули пропорциональна квадрату среднего размера пули $\Delta S \sim V_{п}^{2/3} \sim m^{2/3}$, следовательно $A \sim M^{1/3}m^{2/3}$. Если сравнить эту работу с кинетической энергией бруска $T$, пропорциональной $M$, получим $A/T \sim (m/M)^{2/3}$, что по условию задачи является малой величиной. Таким образом, наше пренебрежение работой разрушения является законным.
