Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4798
2017-11-06 
В термос поместили 1 кг льда при температуре $- 30^{ \circ } С$, а затем добавили 1 кг воды при температуре $+ 20^{ \circ} С$. Каковы будут состав и температура смеси в термосе после установления равновесия?
Решение:
Задачи подобного сорта легко решаются составлением уравнения теплового баланса, которое выражает закон сохранения тепловой (внутренней) энергии. Если в процессе установления равновесия происходят фазовые переходы (плавление или отвердевание, испарение или конденсация), нужно учесть скрытую теплоту, которая выделяется или поглощается в процессе. Так как в окончательный ответ всегда входят разности внутренних энергий в начальном и конечном состояниях, безразлично по какой температурной шкале (Цельсия или Кельвина) вычисляется внутренняя энергия. Чтобы не запутаться, мы сразу договоримся, что в нашей задаче мы будем подсчитывать внутреннюю энергию льда по приводимой ниже формуле:
$U_{л} = C_{л}t_{л}m_{л}$,
а внутреннюю энергию воды по формуле
$U_{в} = С_{в}t_{в}m_{в} + qm_{в} = m_{в} (C_{в}t_{в} + q)$,
$t$ - температура по Цельсию. (Воспользовавшись произвольностью выбора начала отсчета энергии, выбираем лед при $t = 0^{ \circ} С$ за состояние с нулевой внутренней энергией.) Во второй формуле учитывается, что внутренняя энергия жидкой воды, по сравнению с энергией такой же массы льда, больше на величину скрытой теплоты плавления. В зависимости от начального количества воды и льда и их температур могут быть три варианта конечного равновесия, которые проще рассмотреть раздельно.
1. Было много холодного льда. В этом случае жидкая вода остынет и вся замерзнет. В термосе будет сплошной лед при результирующей температуре от нуля и ниже. Уравнение теплового баланса для данного случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} = (m_{в} + m_{л})C_{л}t_{рез}$.
Граница для этого случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} \leq 0$.
2. Было много теплой воды. В этом случае весь лед нагреется и растает, а результирующая температура воды будет нуль или выше. Уравнение теплового баланса для данного случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} = (m_{в} + m_{л})(c_{в}t_{рез} + q)$.
Выразим $t_{рез}$ и получим граничные условия для этого случая
$m_{в}C_{в}t_{в} + m_{л} (C_{л}t_{л} - q) \geq 0$.
3. Промежуточный случай. В термосе остались как лед, так и вода. Прирост массы одной фазы происходит за счет эквивалентного уменьшения массы другой фазы. Конечная температура в этом случае равна $O^{ \circ} С$, что упрощает формулу теплового баланса. С учетом этого
$qm_{в}^{ \prime} = C_{л}m_{л}t_{л} + m_{в}(C_{в}t_{в} + q)$
Сначала нужно проверить, какой из трех случаев имеет место в действительности. Проверяем первое и второе граничные условия и убеждаемся, что в нашей задаче имеет место как раз третий случай. Часть льда растает, масса воды увеличится и станет равной
$m_{в}^{ \prime} = \frac{ c_{л}t_{л}m_{л} + m_{в} ( C_{в}t_{в} + q)}{q} = 1,063 кг$.
В термос поместили 1 кг льда при температуре $- 30^{ \circ } С$, а затем добавили 1 кг воды при температуре $+ 20^{ \circ} С$. Каковы будут состав и температура смеси в термосе после установления равновесия?
Решение:
Задачи подобного сорта легко решаются составлением уравнения теплового баланса, которое выражает закон сохранения тепловой (внутренней) энергии. Если в процессе установления равновесия происходят фазовые переходы (плавление или отвердевание, испарение или конденсация), нужно учесть скрытую теплоту, которая выделяется или поглощается в процессе. Так как в окончательный ответ всегда входят разности внутренних энергий в начальном и конечном состояниях, безразлично по какой температурной шкале (Цельсия или Кельвина) вычисляется внутренняя энергия. Чтобы не запутаться, мы сразу договоримся, что в нашей задаче мы будем подсчитывать внутреннюю энергию льда по приводимой ниже формуле:
$U_{л} = C_{л}t_{л}m_{л}$,
а внутреннюю энергию воды по формуле
$U_{в} = С_{в}t_{в}m_{в} + qm_{в} = m_{в} (C_{в}t_{в} + q)$,
$t$ - температура по Цельсию. (Воспользовавшись произвольностью выбора начала отсчета энергии, выбираем лед при $t = 0^{ \circ} С$ за состояние с нулевой внутренней энергией.) Во второй формуле учитывается, что внутренняя энергия жидкой воды, по сравнению с энергией такой же массы льда, больше на величину скрытой теплоты плавления. В зависимости от начального количества воды и льда и их температур могут быть три варианта конечного равновесия, которые проще рассмотреть раздельно.
1. Было много холодного льда. В этом случае жидкая вода остынет и вся замерзнет. В термосе будет сплошной лед при результирующей температуре от нуля и ниже. Уравнение теплового баланса для данного случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} = (m_{в} + m_{л})C_{л}t_{рез}$.
Граница для этого случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} \leq 0$.
2. Было много теплой воды. В этом случае весь лед нагреется и растает, а результирующая температура воды будет нуль или выше. Уравнение теплового баланса для данного случая
$m_{в}(C_{в}t_{в} + q) + C_{л}m_{л}t_{л} = (m_{в} + m_{л})(c_{в}t_{рез} + q)$.
Выразим $t_{рез}$ и получим граничные условия для этого случая
$m_{в}C_{в}t_{в} + m_{л} (C_{л}t_{л} - q) \geq 0$.
3. Промежуточный случай. В термосе остались как лед, так и вода. Прирост массы одной фазы происходит за счет эквивалентного уменьшения массы другой фазы. Конечная температура в этом случае равна $O^{ \circ} С$, что упрощает формулу теплового баланса. С учетом этого
$qm_{в}^{ \prime} = C_{л}m_{л}t_{л} + m_{в}(C_{в}t_{в} + q)$
Сначала нужно проверить, какой из трех случаев имеет место в действительности. Проверяем первое и второе граничные условия и убеждаемся, что в нашей задаче имеет место как раз третий случай. Часть льда растает, масса воды увеличится и станет равной
$m_{в}^{ \prime} = \frac{ c_{л}t_{л}m_{л} + m_{в} ( C_{в}t_{в} + q)}{q} = 1,063 кг$.
