Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4790
2017-11-06 
Поплавок удочки изготовлен из кусочка гусиного пера, который мы будем рассматривать как цилиндрик массой $M$, длиной $L$ и диаметром $D$ (см. рис.). К нижней части поплавка на тонкой леске привязан свинцовый грузик. Какова должна быть масса грузика, чтобы поплавок устойчиво плавал на поверхности воды в вертикальном положении? Считать, что плотность свинца много больше плотности воды.
Решение:
На плавающий поплавок действуют три силы: сила тяжести $P = Mg$, приложенная в его центре масс О, вес груза $P_{гр}$, приложенный в точке В и выталкивающая сила воды $F$ (см. рис.). Нужно догадаться, что точка приложения выталкивающей силы $F$ находится в центре тяжести того объема, который вытесняет частично погруженный поплавок. Для этого рассмотрим жидкость, находящуюся в равновесии. Выделим внутри жидкости объем произвольной формы. Из того, что этот объем не перемещается и не вращается, автоматически следует, что равнодействующая всех сил внешнего давления (выталкивающая сила) равна весу этого объема; точки приложения этих сил совпадают и находятся в центре тяжести этого объема. Рассмотрим поведение поплавка при его случайном наклоне на произвольный малый угол $\alpha$. Далее не будем учитывать поправки, малые по сравнению с $\alpha$. Глубина погружения поплавка определяется из уравнения равновесия сил:
$P + P_{гр} = \frac{ \pi D^{2}}{4} H \rho_{в} g$,
$H = \frac{4(P + P_{гр})}{ \pi D^{2} \rho_{в} g}$.
Выталкивающая сила будет, очевидно, приложена на глубине $H/2$, и равна по величине полному весу поплавка $(P + P_{гр})$.
Вычислим моменты действующих на поплавок сил, например, относительно точки В прикрепления груза. Выталкивающая сила, приложенная в точке А, создает момент, стремящийся вернуть поплавок в вертикальное положение:
$M_{выт} = F \sin \alpha \cdot AB$.
Сила тяжести поплавка создает момент, опрокидывающий его:
$M_{p} = P \sin \alpha \cdot OB$.
Момент вращения, создаваемый весом груза относительно точки Я, равен нулю. Устойчивость поплавка будет достигнута, если:
$M_{выт} \geq M_{p}$.
Учитывая, что $AB = H/2, OB = L/2$, имеем:
$(P + P_{гр}) \sin \alpha \cdot \frac{H}{2} \geq P \sin \alpha \cdot \frac{L}{2}$,
$(P + P_{гр}) \cdot H \geq gML$.
Подставляя полученную ранее величину $H$, окончательно имеем:
$m_{гр} \geq \frac{D}{2} \sqrt{ \pi \rho_{в} ML} - M$.
Поплавок удочки изготовлен из кусочка гусиного пера, который мы будем рассматривать как цилиндрик массой $M$, длиной $L$ и диаметром $D$ (см. рис.). К нижней части поплавка на тонкой леске привязан свинцовый грузик. Какова должна быть масса грузика, чтобы поплавок устойчиво плавал на поверхности воды в вертикальном положении? Считать, что плотность свинца много больше плотности воды.
Решение:
На плавающий поплавок действуют три силы: сила тяжести $P = Mg$, приложенная в его центре масс О, вес груза $P_{гр}$, приложенный в точке В и выталкивающая сила воды $F$ (см. рис.). Нужно догадаться, что точка приложения выталкивающей силы $F$ находится в центре тяжести того объема, который вытесняет частично погруженный поплавок. Для этого рассмотрим жидкость, находящуюся в равновесии. Выделим внутри жидкости объем произвольной формы. Из того, что этот объем не перемещается и не вращается, автоматически следует, что равнодействующая всех сил внешнего давления (выталкивающая сила) равна весу этого объема; точки приложения этих сил совпадают и находятся в центре тяжести этого объема. Рассмотрим поведение поплавка при его случайном наклоне на произвольный малый угол $\alpha$. Далее не будем учитывать поправки, малые по сравнению с $\alpha$. Глубина погружения поплавка определяется из уравнения равновесия сил:
$P + P_{гр} = \frac{ \pi D^{2}}{4} H \rho_{в} g$,
$H = \frac{4(P + P_{гр})}{ \pi D^{2} \rho_{в} g}$.
Выталкивающая сила будет, очевидно, приложена на глубине $H/2$, и равна по величине полному весу поплавка $(P + P_{гр})$.
Вычислим моменты действующих на поплавок сил, например, относительно точки В прикрепления груза. Выталкивающая сила, приложенная в точке А, создает момент, стремящийся вернуть поплавок в вертикальное положение:
$M_{выт} = F \sin \alpha \cdot AB$.
Сила тяжести поплавка создает момент, опрокидывающий его:
$M_{p} = P \sin \alpha \cdot OB$.
Момент вращения, создаваемый весом груза относительно точки Я, равен нулю. Устойчивость поплавка будет достигнута, если:
$M_{выт} \geq M_{p}$.
Учитывая, что $AB = H/2, OB = L/2$, имеем:
$(P + P_{гр}) \sin \alpha \cdot \frac{H}{2} \geq P \sin \alpha \cdot \frac{L}{2}$,
$(P + P_{гр}) \cdot H \geq gML$.
Подставляя полученную ранее величину $H$, окончательно имеем:
$m_{гр} \geq \frac{D}{2} \sqrt{ \pi \rho_{в} ML} - M$.
