Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4787
2017-11-06 
На гладком горизонтальном столе находятся два бруска равной массы $M$ (см. рис.). В начальный момент времени первый брусок движется в направлении второго со скоростью $V$.
На втором бруске свободно лежит монета. Коэффициент трения между бруском и монетой равен $k$. Определить полный путь скольжения монеты по поверхности второго бруска после соударения брусков. Масса монеты много меньше массы каждого из брусков. Рассмотреть два случая: абсолютно упругого и неупругого соударений брусков. Поверхность бруска настолько велика, что монета не успевает с него соскочить.
Решение:
Поскольку масса монеты мала по сравнению с массой брусков, мы можем не учитывать её при вычислении скоростей брусков после соударения.
1. Для упругого соударения имеем систему уравнений для законов сохранения энергии и импульса:
$\begin{cases} \frac{MV^{2}}{2} = \frac{MV_{1}^{2}}{2} + \frac{MV_{2}^{2}}{2}; \\ MV = MV_{1} + MV_{2}, \end{cases}$
или
$\begin{cases} V_{1} + V_{2} = V; \\ V_{1}^{2} + V_{2}^{1} = V^{2}, \end{cases}$
где $V_{1}$ и $V_{2}$ — скорости первого и второго брусков после соударения. Решение этой системы
$V_{1} =0, V_{2} = V$,
(второе решение $V_{1} = V, V_{2} = 0$ соответствует отсутствию удара), т.е. первый брусок после удара останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью $V$.
2. Для абсолютно неупругого соударения имеем закон сохранения импульса:
$MV = MV_{1} + MV_{2}$,
и дополнительное условие $V_{1} = V_{2}$, откуда:
$V_{2} = \frac{1}{2} V$.
Для дальнейшего существенно лишь то, что сразу после удара второй брусок, на котором лежит монета, внезапно приобретает скорость $V_{2}$, монета же сразу после соударения остаётся в покое, но начинает проскальзывать по бруску, увлекаемая по ходу движения силой трения $F_{тр} = kmg$, и приобретает ускорение $a = \frac{kmg}{m} = kg$, где $m$ — масса монеты.
Очевидно, что проскальзывание прекратится, когда скорость монеты сравняется со скоростью бруска. Это произойдет через время $t$:
$t = \frac{V_{2}}{a} = \frac{V_{2}}{kg}$.
За это время брусок пройдет путь
$S_{Б} = V_{2}t = \frac{V_{2}^{2}}{kg}$,
а монета —
$S_{м} = \frac{a_{м}t^{2}}{2} = \frac{V_{2}^{2}}{2kg}$.
Очевидно, что разность этих путей $S_{Б} - S_{м}$ и будет искомой величиной проскальзывания монеты по бруску:
$S_{пр} = \frac{V_{2}^{1}}{2kg}$;
Остаётся лишь подставить значение $V_{2}$ для упругого и неупругого соударений:
$S_{пр. упр.} = \frac{V^{2}}{2kg}, S_{пр.неупр.} = \frac{V^{2}}{8kg}$.
На гладком горизонтальном столе находятся два бруска равной массы $M$ (см. рис.). В начальный момент времени первый брусок движется в направлении второго со скоростью $V$.
На втором бруске свободно лежит монета. Коэффициент трения между бруском и монетой равен $k$. Определить полный путь скольжения монеты по поверхности второго бруска после соударения брусков. Масса монеты много меньше массы каждого из брусков. Рассмотреть два случая: абсолютно упругого и неупругого соударений брусков. Поверхность бруска настолько велика, что монета не успевает с него соскочить.
Решение:
Поскольку масса монеты мала по сравнению с массой брусков, мы можем не учитывать её при вычислении скоростей брусков после соударения.
1. Для упругого соударения имеем систему уравнений для законов сохранения энергии и импульса:
$\begin{cases} \frac{MV^{2}}{2} = \frac{MV_{1}^{2}}{2} + \frac{MV_{2}^{2}}{2}; \\ MV = MV_{1} + MV_{2}, \end{cases}$
или
$\begin{cases} V_{1} + V_{2} = V; \\ V_{1}^{2} + V_{2}^{1} = V^{2}, \end{cases}$
где $V_{1}$ и $V_{2}$ — скорости первого и второго брусков после соударения. Решение этой системы
$V_{1} =0, V_{2} = V$,
(второе решение $V_{1} = V, V_{2} = 0$ соответствует отсутствию удара), т.е. первый брусок после удара останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью $V$.
2. Для абсолютно неупругого соударения имеем закон сохранения импульса:
$MV = MV_{1} + MV_{2}$,
и дополнительное условие $V_{1} = V_{2}$, откуда:
$V_{2} = \frac{1}{2} V$.
Для дальнейшего существенно лишь то, что сразу после удара второй брусок, на котором лежит монета, внезапно приобретает скорость $V_{2}$, монета же сразу после соударения остаётся в покое, но начинает проскальзывать по бруску, увлекаемая по ходу движения силой трения $F_{тр} = kmg$, и приобретает ускорение $a = \frac{kmg}{m} = kg$, где $m$ — масса монеты.
Очевидно, что проскальзывание прекратится, когда скорость монеты сравняется со скоростью бруска. Это произойдет через время $t$:
$t = \frac{V_{2}}{a} = \frac{V_{2}}{kg}$.
За это время брусок пройдет путь
$S_{Б} = V_{2}t = \frac{V_{2}^{2}}{kg}$,
а монета —
$S_{м} = \frac{a_{м}t^{2}}{2} = \frac{V_{2}^{2}}{2kg}$.
Очевидно, что разность этих путей $S_{Б} - S_{м}$ и будет искомой величиной проскальзывания монеты по бруску:
$S_{пр} = \frac{V_{2}^{1}}{2kg}$;
Остаётся лишь подставить значение $V_{2}$ для упругого и неупругого соударений:
$S_{пр. упр.} = \frac{V^{2}}{2kg}, S_{пр.неупр.} = \frac{V^{2}}{8kg}$.
