Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4786
2017-11-06 
Поворот шоссейной дороги выполнен в виде дуги окружности радиусом 50 м. Полотно дороги в пределах дуги поворота имеет поперечный уклон в сторону поворота, равный $10^{ \circ}$. Какова наиболее безопасная скорость для автомобиля, проходящего поворот в условиях гололеда?
Решение:
Рассмотрим рис., на котором изображено сечение дороги, имеющей конечный уклон с углом $\alpha = 10^{ \circ}$. Автомобиль движется от наблюдателя, перпендикулярно плоскости рисунка. Центр дуги поворота находится где-то слева и на рисунке не показан. $F_{т}$ — сила тяжести, $F_{ц}$ — центростремительная сила, $F_{p}$ — сила реакции со стороны дороги, действующая на автомобиль.
Пусть автомобиль движется по повороту дороги со скоростью $V$. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, должна совпадать по величине и направлению с центростремительной силой:
$F_{ц} = \frac{mV^{2}}{R}$.
Центростремительная сила является векторной суммой двух сил — силы тяжести $F_{т}$ и силы реакции дороги $F_{p}$, причем сила тяжести $F_{т}$, направленная вниз, не имеет проекции на горизонтальное направление, поэтому центростремительная сила $F_{ц}$, удерживающая автомобиль на траектории дуги поворота, возникает как горизонтальная составляющая силы реакции дороги.
Вертикальная составляющая силы реакции уравновешивает действие силы тяжести, т.е. равна по величине и противоположна по направлению вектору силы тяжести $F_{т}$.
Итак, если задать массу автомобиля и скорость его движения, то и сила тяжести $F_{т}$, и центростремительная сила будут известны, и можно будет определить величину и направление силы реакции $F_{p}$, действующей на автомобиль со стороны дороги.
В общем случае она имеет произвольное направление. Покажем, что наиболее безопасная скорость для автомобиля, это такая скорость, при которой реакция дороги перпендикулярна дорожному полотну.
Рассмотрим рис., на котором изображена только сила реакции дороги $\vec{F}_{p}$ и её разложение на две составляющие, направленные перпендикулярно и параллельно поверхности полотна дороги. Перпендикулярная компонента $F_{д}$ уравновешивает силу нормального давления автомобиля на полотно дороги и обеспечивается прочностью дорожного полотна. Параллельная компонента $F_{тр}$ возникает за счет сцепления автомобиля с дорогой. Практически, этой силы максимальная величина задаётся формулой $F_{тр max} = kF_{д}$, где $k$ — коэффициент трения.
В условиях гололеда $k$ мало, но если правильно выбрать скорость движения, когда сила реакции перпендикулярна полотну, боковые силы, вызывающие занос автомобиля, не возникают, и можно пройти поворот даже на очень скользкой дороге.
По этой причине строители дорог вполне сознательно наклоняют полотно дороги в сторону поворота на определённый угол, который рассчитывается для определённой средней скорости движения автомобилей или поездов по данному участку дороги.
Самую безопасную скорость вычислить очень легко (см. рис.):
$\begin{cases} \frac{mV^{2}}{R} = F_{p} \sin \alpha; \\ mg = F_{p} \cos \alpha. \end{cases}$
Поделив одно уравнение на другое получим:
$\frac{V^{2}}{gR} = tg \alpha; V = \sqrt{gR tg \alpha} \approx 9,4 м/сек \approx 33,8 км/ч$.
Поворот шоссейной дороги выполнен в виде дуги окружности радиусом 50 м. Полотно дороги в пределах дуги поворота имеет поперечный уклон в сторону поворота, равный $10^{ \circ}$. Какова наиболее безопасная скорость для автомобиля, проходящего поворот в условиях гололеда?
Решение:
Рассмотрим рис., на котором изображено сечение дороги, имеющей конечный уклон с углом $\alpha = 10^{ \circ}$. Автомобиль движется от наблюдателя, перпендикулярно плоскости рисунка. Центр дуги поворота находится где-то слева и на рисунке не показан. $F_{т}$ — сила тяжести, $F_{ц}$ — центростремительная сила, $F_{p}$ — сила реакции со стороны дороги, действующая на автомобиль.
Пусть автомобиль движется по повороту дороги со скоростью $V$. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, должна совпадать по величине и направлению с центростремительной силой:
$F_{ц} = \frac{mV^{2}}{R}$.
Центростремительная сила является векторной суммой двух сил — силы тяжести $F_{т}$ и силы реакции дороги $F_{p}$, причем сила тяжести $F_{т}$, направленная вниз, не имеет проекции на горизонтальное направление, поэтому центростремительная сила $F_{ц}$, удерживающая автомобиль на траектории дуги поворота, возникает как горизонтальная составляющая силы реакции дороги.
Вертикальная составляющая силы реакции уравновешивает действие силы тяжести, т.е. равна по величине и противоположна по направлению вектору силы тяжести $F_{т}$.
Итак, если задать массу автомобиля и скорость его движения, то и сила тяжести $F_{т}$, и центростремительная сила будут известны, и можно будет определить величину и направление силы реакции $F_{p}$, действующей на автомобиль со стороны дороги.
В общем случае она имеет произвольное направление. Покажем, что наиболее безопасная скорость для автомобиля, это такая скорость, при которой реакция дороги перпендикулярна дорожному полотну.
Рассмотрим рис., на котором изображена только сила реакции дороги $\vec{F}_{p}$ и её разложение на две составляющие, направленные перпендикулярно и параллельно поверхности полотна дороги. Перпендикулярная компонента $F_{д}$ уравновешивает силу нормального давления автомобиля на полотно дороги и обеспечивается прочностью дорожного полотна. Параллельная компонента $F_{тр}$ возникает за счет сцепления автомобиля с дорогой. Практически, этой силы максимальная величина задаётся формулой $F_{тр max} = kF_{д}$, где $k$ — коэффициент трения.
В условиях гололеда $k$ мало, но если правильно выбрать скорость движения, когда сила реакции перпендикулярна полотну, боковые силы, вызывающие занос автомобиля, не возникают, и можно пройти поворот даже на очень скользкой дороге.
По этой причине строители дорог вполне сознательно наклоняют полотно дороги в сторону поворота на определённый угол, который рассчитывается для определённой средней скорости движения автомобилей или поездов по данному участку дороги.
Самую безопасную скорость вычислить очень легко (см. рис.):
$\begin{cases} \frac{mV^{2}}{R} = F_{p} \sin \alpha; \\ mg = F_{p} \cos \alpha. \end{cases}$
Поделив одно уравнение на другое получим:
$\frac{V^{2}}{gR} = tg \alpha; V = \sqrt{gR tg \alpha} \approx 9,4 м/сек \approx 33,8 км/ч$.
