Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4780
2017-11-06 
В чаше с водой смонтирован электрический насос, который при включении создает фонтанчик, бьющий из сопла диаметром $d = 5 мм$ вертикально вверх на высоту $h = 20 см$ и падающий обратно в чашу.
Вся конструкция установлена на весах и в тот момент, когда насос не включен, имеет вес $P = 20 Н$. Для установившегося режима работы насоса определить:
1. Каков диаметр струи $d_{1}$ на высоте $h_{1} = 15 см$ от сопла?
2. Какова масса воды $m$, находящаяся в воздухе?
3. Каковы показания весов во время работы фонтана?
Решение:
1. Движение каждого элемента струи подчиняется тем же законам, что и любого другого тела, например, брошенного камня, под действием силы тяжести. Потому скорость струи на расстоянии от верхней точки струи $H = h - h_{1}$ вычисляется по формуле:
$v_{1} = \sqrt{2gH}$.
Расход воды (объем воды, проходящей через поперечное сечение струи в единицу времени) в любом сечении струи есть величина постоянная (так как вода несжимаема и струя неразрывна) и равна $S \cdot v = const$, где $S$ — площадь сечения. Исходя из этого, можно определить диаметр $d_{1}$ струи на высоте струи $h_{1} = 15 см$:
$\frac{ \pi d^{2}}{4} v = \frac{ \pi d_{1}^{2}}{4} v_{1}$,
где
$v = \sqrt{2gh}$, и $d_{1} = d \sqrt{ \frac{v}{v_{1}}} = d \sqrt[4]{ \frac{h}{H}} = d \sqrt{2} \approx 7 мм$.
2. Времена подъема и падения каждого элемента жидкости в отсутствии сил сопротивления одинаковы и составляют вместе $t = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Поскольку в единицу времени через каждое сечение проходит $\tau м^{3}/с$, то, следовательно, весь объем жидкости, находящейся в воздухе, равен $V = \tau \cdot t$ и ее масса:
$m = \rho Svt = \rho \frac{ \pi d^{2}}{4} \sqrt{2gh} 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}} = \rho \pi d^{2} h = 15,7 г$.
3. С одной стороны, при установившейся работе насоса, сила тяжести, действующая на воду в чаше, уменьшается на величину $mg$, где $m$ - масса воды в воздухе. С другой стороны, работа насоса сопровождается, во-первых, возникновением реактивной силы, которая действует на чашку весов вниз, во-вторых добавочной силой давления со стороны падающих в чашку капель, действующей также вниз.
Убедимся, что векторная сумма этих трех добавочных сил равна нулю. Действительно, согласно решению предыдущего вопроса, изменение силы тяжести $F_{1} = - mg = 4 \rho S hg$. Реактивная сила, действующая со стороны струи, равна:
$F_{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{ \Delta m}{ \Delta t} v = \rho v^{2} S = 2 \rho ghS$.
Так как в чашу возвращается в единицу времени такое же количество воды, что и вылетает из сопла, причем с такой же скоростью, то сила давления падающих капель $F_{3} = F_{2} = 2 \rho ghS$. Складывая получаем $F_{1} + F_{2} + F_{3} = - 4 \rho ghS + 2 \rho ghS + 2 \rho ghS = 0$.
К этому выводу можно придти и из общих соображений: взаимодействие струи с насосом и с чашей — это взаимодействие внутреннее для системы "вода-чаша", которое, в рамках механики Ньютона, никак нс может повлиять на значение внешней суммарной силы тяжести, действующей на весы.
В чаше с водой смонтирован электрический насос, который при включении создает фонтанчик, бьющий из сопла диаметром $d = 5 мм$ вертикально вверх на высоту $h = 20 см$ и падающий обратно в чашу.
Вся конструкция установлена на весах и в тот момент, когда насос не включен, имеет вес $P = 20 Н$. Для установившегося режима работы насоса определить:
1. Каков диаметр струи $d_{1}$ на высоте $h_{1} = 15 см$ от сопла?
2. Какова масса воды $m$, находящаяся в воздухе?
3. Каковы показания весов во время работы фонтана?
Решение:
1. Движение каждого элемента струи подчиняется тем же законам, что и любого другого тела, например, брошенного камня, под действием силы тяжести. Потому скорость струи на расстоянии от верхней точки струи $H = h - h_{1}$ вычисляется по формуле:
$v_{1} = \sqrt{2gH}$.
Расход воды (объем воды, проходящей через поперечное сечение струи в единицу времени) в любом сечении струи есть величина постоянная (так как вода несжимаема и струя неразрывна) и равна $S \cdot v = const$, где $S$ — площадь сечения. Исходя из этого, можно определить диаметр $d_{1}$ струи на высоте струи $h_{1} = 15 см$:
$\frac{ \pi d^{2}}{4} v = \frac{ \pi d_{1}^{2}}{4} v_{1}$,
где
$v = \sqrt{2gh}$, и $d_{1} = d \sqrt{ \frac{v}{v_{1}}} = d \sqrt[4]{ \frac{h}{H}} = d \sqrt{2} \approx 7 мм$.
2. Времена подъема и падения каждого элемента жидкости в отсутствии сил сопротивления одинаковы и составляют вместе $t = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Поскольку в единицу времени через каждое сечение проходит $\tau м^{3}/с$, то, следовательно, весь объем жидкости, находящейся в воздухе, равен $V = \tau \cdot t$ и ее масса:
$m = \rho Svt = \rho \frac{ \pi d^{2}}{4} \sqrt{2gh} 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}} = \rho \pi d^{2} h = 15,7 г$.
3. С одной стороны, при установившейся работе насоса, сила тяжести, действующая на воду в чаше, уменьшается на величину $mg$, где $m$ - масса воды в воздухе. С другой стороны, работа насоса сопровождается, во-первых, возникновением реактивной силы, которая действует на чашку весов вниз, во-вторых добавочной силой давления со стороны падающих в чашку капель, действующей также вниз.
Убедимся, что векторная сумма этих трех добавочных сил равна нулю. Действительно, согласно решению предыдущего вопроса, изменение силы тяжести $F_{1} = - mg = 4 \rho S hg$. Реактивная сила, действующая со стороны струи, равна:
$F_{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{ \Delta m}{ \Delta t} v = \rho v^{2} S = 2 \rho ghS$.
Так как в чашу возвращается в единицу времени такое же количество воды, что и вылетает из сопла, причем с такой же скоростью, то сила давления падающих капель $F_{3} = F_{2} = 2 \rho ghS$. Складывая получаем $F_{1} + F_{2} + F_{3} = - 4 \rho ghS + 2 \rho ghS + 2 \rho ghS = 0$.
К этому выводу можно придти и из общих соображений: взаимодействие струи с насосом и с чашей — это взаимодействие внутреннее для системы "вода-чаша", которое, в рамках механики Ньютона, никак нс может повлиять на значение внешней суммарной силы тяжести, действующей на весы.
