Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4769
2017-11-06 
В цилиндрический сосуд, площадь дна которого $S = 230 см^{2}$, залили 1,12 литра воды и поместили пенопластовый плотик (плотность пенопласта $\rho_{п} = 0,3 г/см^{3}$), ко дну которого была приклеена пластинка из кристаллического сахара. Объем сахарной пластинки $V_{c} = 140 см^{3}$, плотность сахара $\rho_{с} = 1,6 г/см^{3}$. Вначале блок из сахара и пенопласта полностью погрузился в воду и "парил" в ее объеме (см. рис.). С течением времени сахар растворился. Полученный раствор тщательно перемешали не вынимая пенопласт.
1. Найдите объем пенопласта.
2. Определите, на сколько изменился уровень жидкости в цилиндре после растворения сахара.
Примечание: несмотря на ничтожную сжимаемость воды, ее молекулярная структура довольно "рыхлая", и растворившиеся молекулы сахара (или соли) заполнят межмолекулярные пустоты, не приводя к сколько-нибудь заметному изменению объема.
Решение:
Условие плавания в объеме воды блока из сахара и пенопласта
$V_{п}\rho_{п} + V_{с} \rho_{с} = (V_{п} + V_{с}) \rho \Rightarrow V_{п} = V_{с} \left ( \frac{ \rho_{с} - \rho}{ \rho - \rho_{п}} \right )$.
Здесь $V_{п}$ — объем пенопласта, $\rho_{п},\rho_{с}$ и $\rho$ — плотность пенопласта, сахара и воды, соответственно.
Численно $V_{п} = 120 см^{3}$. Найдем плотность сахарного раствора:
$\rho_{р} = \rho + \frac{ \rho_{с}V_{с}}{V}$,
где $V$ — объем чистой воды. Численно $\rho_{р} = 1 + \frac{1,6 \cdot 140}{1120} = 1,2 г/см^{3}$. Первоначальный уровень воды в цилиндре:
$h_{1} = \frac{1}{S} (V + V_{п} + V_{с})$.
Конечный уровень раствора в цилиндре
$h_{2} = \frac{1}{S}(V_{р} + V_{огр.п})$
где $V_{погр.п}$ — объем погруженной части пенопласта, $V_{р}$ — объем раствора.
Из примечания к задаче следует, что $V_{р} = V$.
$\Delta h = h_{2} - h_{1} = \frac{1}{S} (V_{погр.п} - V_{п} - V_{с}) \Rightarrow \Delta h = \frac{1}{S}(V_{погр.п} - V_{п} - V_{с})$.
Найдем объем части пенопласта, погруженной в раствор.
$V_{погр.п} \rho_{р} = V_{п} \rho_{п} \Rightarrow V_{погр.п} = \frac{ \rho_{п}}{ \rho_{р}} V_{п}$.
Численно $v_{погр.п} \rho_{р} = 120 см^{3} \cdot \frac{0,3}{1,2} = 30 см^{3}$. Окончательно
$\Delta h = \frac{1}{S} (30 - 120 - 140) = \frac{230}{230} = -1 см$,
т.е. уровень жидкости понизится на 1 см.
В цилиндрический сосуд, площадь дна которого $S = 230 см^{2}$, залили 1,12 литра воды и поместили пенопластовый плотик (плотность пенопласта $\rho_{п} = 0,3 г/см^{3}$), ко дну которого была приклеена пластинка из кристаллического сахара. Объем сахарной пластинки $V_{c} = 140 см^{3}$, плотность сахара $\rho_{с} = 1,6 г/см^{3}$. Вначале блок из сахара и пенопласта полностью погрузился в воду и "парил" в ее объеме (см. рис.). С течением времени сахар растворился. Полученный раствор тщательно перемешали не вынимая пенопласт.
1. Найдите объем пенопласта.
2. Определите, на сколько изменился уровень жидкости в цилиндре после растворения сахара.
Примечание: несмотря на ничтожную сжимаемость воды, ее молекулярная структура довольно "рыхлая", и растворившиеся молекулы сахара (или соли) заполнят межмолекулярные пустоты, не приводя к сколько-нибудь заметному изменению объема.
Решение:
Условие плавания в объеме воды блока из сахара и пенопласта
$V_{п}\rho_{п} + V_{с} \rho_{с} = (V_{п} + V_{с}) \rho \Rightarrow V_{п} = V_{с} \left ( \frac{ \rho_{с} - \rho}{ \rho - \rho_{п}} \right )$.
Здесь $V_{п}$ — объем пенопласта, $\rho_{п},\rho_{с}$ и $\rho$ — плотность пенопласта, сахара и воды, соответственно.
Численно $V_{п} = 120 см^{3}$. Найдем плотность сахарного раствора:
$\rho_{р} = \rho + \frac{ \rho_{с}V_{с}}{V}$,
где $V$ — объем чистой воды. Численно $\rho_{р} = 1 + \frac{1,6 \cdot 140}{1120} = 1,2 г/см^{3}$. Первоначальный уровень воды в цилиндре:
$h_{1} = \frac{1}{S} (V + V_{п} + V_{с})$.
Конечный уровень раствора в цилиндре
$h_{2} = \frac{1}{S}(V_{р} + V_{огр.п})$
где $V_{погр.п}$ — объем погруженной части пенопласта, $V_{р}$ — объем раствора.
Из примечания к задаче следует, что $V_{р} = V$.
$\Delta h = h_{2} - h_{1} = \frac{1}{S} (V_{погр.п} - V_{п} - V_{с}) \Rightarrow \Delta h = \frac{1}{S}(V_{погр.п} - V_{п} - V_{с})$.
Найдем объем части пенопласта, погруженной в раствор.
$V_{погр.п} \rho_{р} = V_{п} \rho_{п} \Rightarrow V_{погр.п} = \frac{ \rho_{п}}{ \rho_{р}} V_{п}$.
Численно $v_{погр.п} \rho_{р} = 120 см^{3} \cdot \frac{0,3}{1,2} = 30 см^{3}$. Окончательно
$\Delta h = \frac{1}{S} (30 - 120 - 140) = \frac{230}{230} = -1 см$,
т.е. уровень жидкости понизится на 1 см.
