Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4764
2017-11-06 
На скользкий конус с углом при вершине $2 \alpha$ надета цепочка массы $m$ (см. рис.). Найти силу натяжения цепи. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
I-й способ.
Рассмотрим малый элемент цепи, занимающий угол $\Delta \beta$ дуги окружности (см. рис.). Его масса $\Delta m = \frac{m \Delta \beta}{2 \pi}$. Со стороны цепи на него действует сила $\Delta T = 2T \cdot \sin \frac{ \Delta \beta}{2} \approx T \cdot \Delta \beta$ (угол $\Delta \beta$ мал), направленная по радиусу к центру конуса (см. рис.). Кроме того, на выделенный элемент действуют сила тяжести $\Delta mg$ и сила реакции опоры, перпендикулярная образующей конуса (см. рис.).
Условие равновесия цепочки в проекции на образующую (см. рис.) запишется в виде:
$\Delta T \sin \alpha = \Delta mg \cos \alpha$,
отсюда
$T = \frac{mg}{2 \pi tg \alpha}$.
II-й способ.
Допустим, цепь опустилась на малую величину $\Delta h$ от положения равновесия. Тогда удлинение цепи составит $2 \pi \Delta h tg \alpha$. Работа сил натяжения цепи $A_{1} = - 2 \pi T \Delta h tg \alpha$, где $T$ — сила натяжения цепи. Работа силы тяжести $A_{2} = mg \Delta h$. При малом отклонении системы из положения равновесия изменением полной энергии можно пренебречь. Тогда $A_{1} + A_{2} = 0$. Отсюда получаем
$T = \frac{mg}{2 \pi tg \alpha}$.
На скользкий конус с углом при вершине $2 \alpha$ надета цепочка массы $m$ (см. рис.). Найти силу натяжения цепи. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
I-й способ.
Рассмотрим малый элемент цепи, занимающий угол $\Delta \beta$ дуги окружности (см. рис.). Его масса $\Delta m = \frac{m \Delta \beta}{2 \pi}$. Со стороны цепи на него действует сила $\Delta T = 2T \cdot \sin \frac{ \Delta \beta}{2} \approx T \cdot \Delta \beta$ (угол $\Delta \beta$ мал), направленная по радиусу к центру конуса (см. рис.). Кроме того, на выделенный элемент действуют сила тяжести $\Delta mg$ и сила реакции опоры, перпендикулярная образующей конуса (см. рис.).
Условие равновесия цепочки в проекции на образующую (см. рис.) запишется в виде:
$\Delta T \sin \alpha = \Delta mg \cos \alpha$,
отсюда
$T = \frac{mg}{2 \pi tg \alpha}$.
II-й способ.
Допустим, цепь опустилась на малую величину $\Delta h$ от положения равновесия. Тогда удлинение цепи составит $2 \pi \Delta h tg \alpha$. Работа сил натяжения цепи $A_{1} = - 2 \pi T \Delta h tg \alpha$, где $T$ — сила натяжения цепи. Работа силы тяжести $A_{2} = mg \Delta h$. При малом отклонении системы из положения равновесия изменением полной энергии можно пренебречь. Тогда $A_{1} + A_{2} = 0$. Отсюда получаем
$T = \frac{mg}{2 \pi tg \alpha}$.
