Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4759
2017-11-06 
В 17-ом веке гражданин славного города Магдебурга Отто фон Герике, а впоследствии бургомистр этого города, демонстрировал своим согражданам удивительные физические эксперименты, доказывающие наличие атмосферного давления. Два прочных металлических полушария тщательно отшлифованные по краю прикладывались друг к другу и затем из образовавшейся сферической полости через специальный кран откачивался воздух. После этого полусферы так плотно соединялись, что несколько сильных лошадей не могли разорвать эту связь.
Вычислите какую силу необходимо приложить, чтобы разъединить эти полушария, если диаметр полусфер составлял 0,5 .и, а атмосферное давление 760 мм pт. cт. Плотность ртути $13,6 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Для вычисления искомой силы необходимо найти равнодействующую сил давления, действующих снаружи на полусферу. Для этого разобьем каждую полусферу на маленькие участки (см. рис.), подсчитаем силу, действующую на каждый такой участок и для нахождения равнодействующей сложим их все вместе. Возьмем один маленький участок полусферы площадью $\Delta S$. На него будет действовать снаружи (внутри вакуум и поэтому давление внутри равно нулю) сила нормального давления, равная по модулю $p \Delta S$ и направленная внутрь сферы по радиусу. Эту силу можно разложить на составляющую $\vec{F}_{ \parallel} = p \Delta S \sin \theta$ — параллельную основанию полусферы и $\vec{F}_{ \perp} = p \Delta S \cos \theta$ — перпендикулярную ей. Здесь угол $\theta$ — это угол между нормалью к основанию полусферы и внешней нормалью к ее поверхности.
Для любого такого элемента поверхности $\Delta S$ можно найти симметричный ему элемент $\Delta S^{ \prime}$, такой что $\vec{F}_{ \parallel} + \vec{F}_{ \parallel}^{ \prime} = 0$ в силу симметрии. Поэтому ненулевой вклад в равнодействующую силу дают только перпендикулярные составляющие $F_{i} = p \Delta S_{i} \cos \theta_{i}$. Суммируя по всем площадкам получаем
$F = \sum_{i} p \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = p \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = p S_{осн}$,
так как произведение $\Delta S_{i} \cos \theta_{i}$ имеет геометрический смысл площади проекции элемента поверхности на основание полусферы и вся полусфера проектируется на круг площадью $S_{осн} = \pi d^{4} /4$. Учитывая, что $p = \rho_{рт}gH$, где $H$ — высота ртутного столба, подставляя числовые значения, получаем
$F = 1,9 \cdot 10^{5} Н$.
В 17-ом веке гражданин славного города Магдебурга Отто фон Герике, а впоследствии бургомистр этого города, демонстрировал своим согражданам удивительные физические эксперименты, доказывающие наличие атмосферного давления. Два прочных металлических полушария тщательно отшлифованные по краю прикладывались друг к другу и затем из образовавшейся сферической полости через специальный кран откачивался воздух. После этого полусферы так плотно соединялись, что несколько сильных лошадей не могли разорвать эту связь.
Вычислите какую силу необходимо приложить, чтобы разъединить эти полушария, если диаметр полусфер составлял 0,5 .и, а атмосферное давление 760 мм pт. cт. Плотность ртути $13,6 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Для вычисления искомой силы необходимо найти равнодействующую сил давления, действующих снаружи на полусферу. Для этого разобьем каждую полусферу на маленькие участки (см. рис.), подсчитаем силу, действующую на каждый такой участок и для нахождения равнодействующей сложим их все вместе. Возьмем один маленький участок полусферы площадью $\Delta S$. На него будет действовать снаружи (внутри вакуум и поэтому давление внутри равно нулю) сила нормального давления, равная по модулю $p \Delta S$ и направленная внутрь сферы по радиусу. Эту силу можно разложить на составляющую $\vec{F}_{ \parallel} = p \Delta S \sin \theta$ — параллельную основанию полусферы и $\vec{F}_{ \perp} = p \Delta S \cos \theta$ — перпендикулярную ей. Здесь угол $\theta$ — это угол между нормалью к основанию полусферы и внешней нормалью к ее поверхности.
Для любого такого элемента поверхности $\Delta S$ можно найти симметричный ему элемент $\Delta S^{ \prime}$, такой что $\vec{F}_{ \parallel} + \vec{F}_{ \parallel}^{ \prime} = 0$ в силу симметрии. Поэтому ненулевой вклад в равнодействующую силу дают только перпендикулярные составляющие $F_{i} = p \Delta S_{i} \cos \theta_{i}$. Суммируя по всем площадкам получаем
$F = \sum_{i} p \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = p \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = p S_{осн}$,
так как произведение $\Delta S_{i} \cos \theta_{i}$ имеет геометрический смысл площади проекции элемента поверхности на основание полусферы и вся полусфера проектируется на круг площадью $S_{осн} = \pi d^{4} /4$. Учитывая, что $p = \rho_{рт}gH$, где $H$ — высота ртутного столба, подставляя числовые значения, получаем
$F = 1,9 \cdot 10^{5} Н$.
