Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4758
2017-11-06 
Прочная легкая веревка перекинута через блок и одним концом привязана к скобе, вбитой в пол (см. рис.). На этом конце на расстоянии $L$ от блока висит мартышка с массой $M$. На другом конце веревки подвешен груз массой $2M$. В некоторый момент времени веревку освобождают, одновременно мартышка делает быстрый рывок и начинает взбираться вверх по канату с постоянной относительно каната скоростью $V$. Сколько времени понадобится мартышке, чтобы добраться до блока. Массой блока и трением пренебречь.
Решение:
Рванувшись вверх по канату, мартышка не только придет в движение сама, но и мгновенно (в силу нерастяжимости каната) приведет в движение всю систему: тот конец каната, за который держится мартышка, начнет движение вниз с некоторой скоростью $V_{1}$ (относительно неподвижной системы координат), а груз начнет подниматься с такой же скоростью (см. рис.). Скорость мартышки $V_{0}$ в неподвижной системе отсчета будет равна:
$V_{0} = V - V_{1}$. (1)
На основании третьего закона Ньютона можно сказать, что за то мгновение, в течение которого мартышка стала двигаться, получив импульс $MV_{0}$, груз получил такой же импульс, т.е.
$2MV_{1} = MV_{0} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{2}V_{0}$, (2)
подставив (2) в (1), получим
$V_{0} = V - \frac{1}{2} V_{0}$, или $V_{0} = \frac{2}{3}V$,
такую скорость получила мартышка в неподвижной системе отсчета, начав двигаться со скоростью $V$ относительно каната.
Таким образом, можно сказать, что в начальный момент времени $t = 0$ мартышка двигается вверх со скоростью $V_{0} = \frac{2}{3} V$, а груз — тоже вверх со скоростью $V_{1} = \frac{1}{3} V$, Однако, поскольку груз тяжелее, он начинает перетягивать, в результате чего мартышка движется с ускорением, направленным вверх, а груз движется с таким же ускорением, направленным вниз.
Найти ускорение, с которым движется мартышка, можно, решив систему уравнений для натяжения каната $T$:
$T_{м} = Mg + Ma$ — со стороны мартышки,
$T_{г} = 2Mg - 2Ma$ — со стороны груза,
т.к. $T_{м} = T_{г}$ (натяжение каната с обеих сторон блока одинаково, т.к. он не имеет массы, т.е. неинерционный), то $a = g/3$.
Таким образом, уравнение движения мартышки в неподвижной системе координат $y = V_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$ будет выглядеть следующим образом:
$y = \frac{2}{2}Vt + \frac{gt^{2}}{6}$.
Мартышка доберется до блока, когда $y = L$, а время можно будет найти из уравнения:
$\frac{gt^{2}}{6} + \frac{2}{3}Vt - L = 0 \Rightarrow gt^{2} + 4Vt - 6L = 0$.
Отбрасывая один корень уравнения (в силу неотрицательности времени), получим:
$t = \frac{ - 2V + \sqrt{4V^{2} + 6gL}}{g}$.
Прочная легкая веревка перекинута через блок и одним концом привязана к скобе, вбитой в пол (см. рис.). На этом конце на расстоянии $L$ от блока висит мартышка с массой $M$. На другом конце веревки подвешен груз массой $2M$. В некоторый момент времени веревку освобождают, одновременно мартышка делает быстрый рывок и начинает взбираться вверх по канату с постоянной относительно каната скоростью $V$. Сколько времени понадобится мартышке, чтобы добраться до блока. Массой блока и трением пренебречь.
Решение:
Рванувшись вверх по канату, мартышка не только придет в движение сама, но и мгновенно (в силу нерастяжимости каната) приведет в движение всю систему: тот конец каната, за который держится мартышка, начнет движение вниз с некоторой скоростью $V_{1}$ (относительно неподвижной системы координат), а груз начнет подниматься с такой же скоростью (см. рис.). Скорость мартышки $V_{0}$ в неподвижной системе отсчета будет равна:
$V_{0} = V - V_{1}$. (1)
На основании третьего закона Ньютона можно сказать, что за то мгновение, в течение которого мартышка стала двигаться, получив импульс $MV_{0}$, груз получил такой же импульс, т.е.
$2MV_{1} = MV_{0} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{2}V_{0}$, (2)
подставив (2) в (1), получим
$V_{0} = V - \frac{1}{2} V_{0}$, или $V_{0} = \frac{2}{3}V$,
такую скорость получила мартышка в неподвижной системе отсчета, начав двигаться со скоростью $V$ относительно каната.
Таким образом, можно сказать, что в начальный момент времени $t = 0$ мартышка двигается вверх со скоростью $V_{0} = \frac{2}{3} V$, а груз — тоже вверх со скоростью $V_{1} = \frac{1}{3} V$, Однако, поскольку груз тяжелее, он начинает перетягивать, в результате чего мартышка движется с ускорением, направленным вверх, а груз движется с таким же ускорением, направленным вниз.
Найти ускорение, с которым движется мартышка, можно, решив систему уравнений для натяжения каната $T$:
$T_{м} = Mg + Ma$ — со стороны мартышки,
$T_{г} = 2Mg - 2Ma$ — со стороны груза,
т.к. $T_{м} = T_{г}$ (натяжение каната с обеих сторон блока одинаково, т.к. он не имеет массы, т.е. неинерционный), то $a = g/3$.
Таким образом, уравнение движения мартышки в неподвижной системе координат $y = V_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$ будет выглядеть следующим образом:
$y = \frac{2}{2}Vt + \frac{gt^{2}}{6}$.
Мартышка доберется до блока, когда $y = L$, а время можно будет найти из уравнения:
$\frac{gt^{2}}{6} + \frac{2}{3}Vt - L = 0 \Rightarrow gt^{2} + 4Vt - 6L = 0$.
Отбрасывая один корень уравнения (в силу неотрицательности времени), получим:
$t = \frac{ - 2V + \sqrt{4V^{2} + 6gL}}{g}$.
