Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 475
2014-06-01 
В расположенном горизонтально цилиндре (рис.) слева от закрепленного поршня находится 1 моль идеального газа. В правой части цилиндра вакуум, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра, находится в недеформированном состоянии. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды. Когда поршень освободили, объем, занимаемый газом, увеличился вдвое. Как изменится температура газа и его давление? Теплоемкости цилиндра, поршня и пружины пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики количество теплоты $Q$, сообщенной газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершенной им работы $A$:
$Q= \Delta U +A$. (1)
Но в данном случае сосуд теплоизолирован и $Q = 0$. Следовательно,
$\Delta U +A =0$. (2)
Пусть вначале температура газа была $T_{1}$, давление $p_{1}$ и объем $V_{1}$, а после того, как поршень освободили и установилось равновесие, параметры газа приняли значения $T_{2},p_{2}$ и $V_{2}$, причем $V_{2} = 2V_{1}$ (по условию).
Так как внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре, то ее изменение пропорционально изменению температуры газа:
$\Delta U = c_{v} \nu (T_{2}-T_{1})$, (3)
где $c_{v}$ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, $\nu$ - число молей газа.
Далее, работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины:
$A=\frac{kx^{2}}{2}$, (4)
где $x$ - смещение поршня.
Выразим величину $\frac{kx^{2}}{2}$ через параметры газа. Так как после установления равновесия поршень находится а покое, то сила упругости пружины $F = kx$ равна силе давления газа $p_{2}S$:
$kx=p_{2}S$, (5)
где $S$ - площадь поверхности поршня.
Давление же газа связано с его температурой уравнением газового состояния:
$p_{2}V_{2} = \nu RT_{2}$. (6)
Так как объем газа при его расширении увеличился вдвое, а изменение объема газа равно $Sx$, то $V_{2}=2Sx$ и, следовательно,
$2 p_{2}Sx = \nu RT_{2}$. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (7), имеем:
$kx = \frac{\nu RT_{2}}{2x}$, (8)
или
$kx^{2}= \frac{\nu RT_{2}}{2}$.
Таким образом, работа, совершенная газом, равна
$A=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{\nu RT_{2}}{4}$. (9)
Подставим это выражение и выражение (3) для $\Delta U$ в равенство (2):
$c_{v} \nu (T_{2}-T_{1})+ \frac{1}{4} \nu RT_{2} = 0$.
Отсюда
$T_{2}=T_{1} \frac{1}{1+\frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}}}$. (10)
Следовательно,
$T_{2} < T_{1}$.
Теперь можно найти, как изменится давление газа. Так как $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$, то согласно уравнению газового состояния
$p_{1} \frac{V_{2}}{2} = \nu RT_{1}$. (11)
Разделив это равенство на равенство (6), получим:
$\frac{p_{1}}{p_{2}}=2 \frac{T_{1}}{T_{2}}=2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}} \right )$,
или
$p_{2}= \frac{p_{1}}{2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}} \right )}$
Давление тоже уменьшилось.
В расположенном горизонтально цилиндре (рис.) слева от закрепленного поршня находится 1 моль идеального газа. В правой части цилиндра вакуум, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра, находится в недеформированном состоянии. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды. Когда поршень освободили, объем, занимаемый газом, увеличился вдвое. Как изменится температура газа и его давление? Теплоемкости цилиндра, поршня и пружины пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики количество теплоты $Q$, сообщенной газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершенной им работы $A$:
$Q= \Delta U +A$. (1)
Но в данном случае сосуд теплоизолирован и $Q = 0$. Следовательно,
$\Delta U +A =0$. (2)
Пусть вначале температура газа была $T_{1}$, давление $p_{1}$ и объем $V_{1}$, а после того, как поршень освободили и установилось равновесие, параметры газа приняли значения $T_{2},p_{2}$ и $V_{2}$, причем $V_{2} = 2V_{1}$ (по условию).
Так как внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре, то ее изменение пропорционально изменению температуры газа:
$\Delta U = c_{v} \nu (T_{2}-T_{1})$, (3)
где $c_{v}$ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, $\nu$ - число молей газа.
Далее, работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины:
$A=\frac{kx^{2}}{2}$, (4)
где $x$ - смещение поршня.
Выразим величину $\frac{kx^{2}}{2}$ через параметры газа. Так как после установления равновесия поршень находится а покое, то сила упругости пружины $F = kx$ равна силе давления газа $p_{2}S$:
$kx=p_{2}S$, (5)
где $S$ - площадь поверхности поршня.
Давление же газа связано с его температурой уравнением газового состояния:
$p_{2}V_{2} = \nu RT_{2}$. (6)
Так как объем газа при его расширении увеличился вдвое, а изменение объема газа равно $Sx$, то $V_{2}=2Sx$ и, следовательно,
$2 p_{2}Sx = \nu RT_{2}$. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (7), имеем:
$kx = \frac{\nu RT_{2}}{2x}$, (8)
или
$kx^{2}= \frac{\nu RT_{2}}{2}$.
Таким образом, работа, совершенная газом, равна
$A=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{\nu RT_{2}}{4}$. (9)
Подставим это выражение и выражение (3) для $\Delta U$ в равенство (2):
$c_{v} \nu (T_{2}-T_{1})+ \frac{1}{4} \nu RT_{2} = 0$.
Отсюда
$T_{2}=T_{1} \frac{1}{1+\frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}}}$. (10)
Следовательно,
$T_{2} < T_{1}$.
Теперь можно найти, как изменится давление газа. Так как $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$, то согласно уравнению газового состояния
$p_{1} \frac{V_{2}}{2} = \nu RT_{1}$. (11)
Разделив это равенство на равенство (6), получим:
$\frac{p_{1}}{p_{2}}=2 \frac{T_{1}}{T_{2}}=2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}} \right )$,
или
$p_{2}= \frac{p_{1}}{2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{v}} \right )}$
Давление тоже уменьшилось.
