Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4748
2017-11-06 
Однородный тонкий круглый обруч радиуса $R$ массы $M$ имеет прочность материала на разрыв $F$. До какой максимальной угловой скорости вращения можно раскрутить такой обруч? Ось вращения перпендикулярна плоскости обруча и проходит через его центр. При решении можно использовать известный в математике факт, что для малых углов $\sin \alpha$ приближенно равен самому углу $\alpha$ (в радианной мере), причем абсолютная и даже относительная погрешность такой замены уменьшается при уменьшении угла.
Решение:
Рассмотрим произвольный малый элемент обруча, ограниченный дугой центрального угла $2 \alpha$ (см. рис.). Этот элемент, как, впрочем, и другие такие же элементы, движется по окружности, а значит, на него со стороны остальной части обруча действует центростремительная сила. Она фактически является суммой двух сил, приложенных к выделенному элементу на его границах в точках А и В.
Эти силы направлены по касательной к обручу, и в любом его сечении действует одинаковое по величине растягивающее усилие, которое может вызвать разрыв обруча, если превысит предел его прочности. Элементарная геометрия приводит к следующему соотношению:
$\Delta m \omega^{2} R = F_{1} \cdot \sin \alpha + F_{2} \cdot \sin \alpha = 2F \cdot \alpha$,
т.к. $F_{1} = F_{2} = F$, a $\sin \alpha \approx \alpha$.
Поскольку массу элемента обруча $\Delta m$ можно выразить как
$\Delta m = \frac{M \cdot 2 \alpha}{2 \pi}$,
окончательно для угловой скорости $\omega$ получаем:
$\omega = \sqrt{ \frac{2 \pi F}{RM}}$.
Однородный тонкий круглый обруч радиуса $R$ массы $M$ имеет прочность материала на разрыв $F$. До какой максимальной угловой скорости вращения можно раскрутить такой обруч? Ось вращения перпендикулярна плоскости обруча и проходит через его центр. При решении можно использовать известный в математике факт, что для малых углов $\sin \alpha$ приближенно равен самому углу $\alpha$ (в радианной мере), причем абсолютная и даже относительная погрешность такой замены уменьшается при уменьшении угла.
Решение:
Рассмотрим произвольный малый элемент обруча, ограниченный дугой центрального угла $2 \alpha$ (см. рис.). Этот элемент, как, впрочем, и другие такие же элементы, движется по окружности, а значит, на него со стороны остальной части обруча действует центростремительная сила. Она фактически является суммой двух сил, приложенных к выделенному элементу на его границах в точках А и В.
Эти силы направлены по касательной к обручу, и в любом его сечении действует одинаковое по величине растягивающее усилие, которое может вызвать разрыв обруча, если превысит предел его прочности. Элементарная геометрия приводит к следующему соотношению:
$\Delta m \omega^{2} R = F_{1} \cdot \sin \alpha + F_{2} \cdot \sin \alpha = 2F \cdot \alpha$,
т.к. $F_{1} = F_{2} = F$, a $\sin \alpha \approx \alpha$.
Поскольку массу элемента обруча $\Delta m$ можно выразить как
$\Delta m = \frac{M \cdot 2 \alpha}{2 \pi}$,
окончательно для угловой скорости $\omega$ получаем:
$\omega = \sqrt{ \frac{2 \pi F}{RM}}$.
