ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-11-06   
Самолет летит над Землей на высоте $h$ с горизонтальной скоростью $\vec{v}_{1}$. Из орудия произведен выстрел по самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием (см. рис.). Найти:
а) какому условию должна удовлетворять начальная скорость $\vec{v}_{0}$ снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет;
б) под каким углом $\alpha$ к горизонту должен быть сделан выстрел? Сопротивлением воздуха пренебречь.



Решение:



Введем координатную систему ху, как показано на рис. Тогда координаты самолета и снаряда в любой момент времени будут:

Самолет:
$x_{см} = v_{1} \cdot t$,
$y_{см} = h$.

Снаряд:
$x_{см} = v_{0} \cos \alpha t$,
$y_{см} = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2}$.

Условие попадания снаряда в самолет определяется равенством соответствующих координат:

$v_{1}t = v_{0} \cos \alpha t$, (1)
$h = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)

Решая второе уравнение относительно времени $t$, приходим к выражению

$t = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g} \pm \sqrt{ \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha - 2gh}{g^{2}}}$,

которое имеет смысл, только в случае, если

$v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha - 2gh \geq 0$.

Это уравнение в совокупности с первым уравнением дает условие, накладываемое на скорость $v_{0}$:

$v_{0}^{2} \geq v_{1}^{2} + 2gh, v_{0} \geq \sqrt{v_{1}^{2} + 2gh}$. (3)

Чтобы при заданном значении $v_{0}$ (не меньшем указанного в условии (3)) снаряд попал в самолет, необходимо чтобы угол $\alpha$ подчинялся условию

$\cos \alpha = \frac{v_{2}}{v_{0}}$.